算法分析的方法

计算机科学又叫计算的科学 目标是使计算高效

算法正确性： 可执行 有穷性（Hailstone函数） 健壮性（非法输入时保证程序不崩溃）
最重要：使程序运行时间短，占用空间小

算法分析
正确性：分析算法的不变性和单调性（采用数学证明，对数器）
复杂度：包括时间空间，不妨先主要考虑时间 这样我们就需要引入一把尺子作为度量（T（n）一般n越大成本越大，n相同实例不同成本也不尽相同（Hailstone函数））

算法分析原则 ：最坏 平均 分摊

对于特定问题不同算法不同编译运行环境成本不同，引入理想的图灵机模型和RAM模型
图灵机模型 ：读写头，纸带（ 当前状态内容，需要修改的内容 下一个状态 最后复位（作为算法一部分 复位是算法的规范要求 ））
RAM ：无限个寄存器，有赋值操作 goto跳转 stop
上述模型把需要计算的时间转化成了运行次数！！！

如果模型是尺子，那么渐进分析 big-O 记号好比尺子的刻度，比起局部小的变化趋势我们更关注大规模长远的变化
T (n)( fn） 存在c大于0，n＞＞2 ，T (n)＜c·fn 因为n比较大，我们处理T (n)表达式是可简单放大化简，忽略系数和较小项得到O(fn)
通过c变化，可使T (n)为实际运行的上界
欧米伽下界，
c它有两个系数 为两者中间

时间复杂度：
O（1）
logn （ 因为乘一个数可以改变底数所以不写底数 ，n如果有指数可提成系数忽略）
线性 O(n)
指数的
np computer
多项式复杂度化简，包含多个子算法如何比较得到成本？

算法分析
主要考虑正确性（不变 单调）和复杂度（迭代——级数求和 ；递归——递归跟踪，递归方程 ；猜想+验证）
级数求和（从几何分布上快速求解？！！！）：
算术级数:T(n)=1+2+…+n=O(n^2) 与末项平方同阶
幂方级数： 比幂次高出一阶
几何级数:T(n)=a^0+…+ a ^n (a>1) 与末项同阶
收敛级数:T(n)=1+…+1/n^2 收敛到一个常数
调和级数:T(n)=1+1/2+。。+1/n n确定的logn
对数级数:T(n)=log 1+…logn=log(n!) 确定的nlogn
起泡排序：
定性
不变性：k轮扫描，最大k个元素就位
单调性: k轮扫描，规模n到了n-k
推出正确性，n轮扫描后 确定了n个元素 规模缩小到0，终止给出正答
定量
运算次数:外循环x=n，内循环(;y*y 封底估算:10^9操作=1sec=10 ^-5 day

递归的分析方法
减而治之：将原问题化成一个平凡问题和一个规模减小的子问题
分而治之：分成两个子问题，凡治众先治寡
处理：递归跟踪（几何直观），递归方程（代数抽象）

动态规划：如果递归可以make run make right 那么迭代可以make fast