三个博弈-巴什博奕、威佐夫博弈、尼姆博弈。acm博弈算法笔记HDU 2149,1850,1527

博弈论

（一）、acm博弈基础算法

Bash Game,Nim Game和Wythoff Game（即 巴什博奕、尼姆博弈、威佐夫博弈）

Bash    Game:   同余理论

Nim      Game:  异或理论

Wythoff Game:  黄金分割

（二）、三个博弈。

1、巴什博奕。

只有一堆n个物品，两个人轮流从这堆物品中取物，

 规定每次至少取一个，最多取m个。最后取光者得胜。

如果n=m+1，那么由于一次最多只能取m个，

所以，无论先取者拿走多少个，后取者都能够一次拿走剩余的物品，后者取胜。

只要保持给对手留下(m+1)的倍数,就能最后获胜.

	while(~scanf("%d%d",&n,&m))
	{
		if(n%(m+1)==0)//必输 
			puts("lose");
		else
			puts("win");
	}

巴什博奕练习题HDU2149

代码：

//HDU2149巴什博奕
#include
int main()
{
	int m,n;//土地价值m，每次最多取n个 
	while(~scanf("%d%d",&m,&n))
	{
		if(m%(n+1)==0)//必输 
			puts("none");
		else
		{//要给对手留下奇异局势（必输局势） 
			int flag=1;
			for(int i=1;i<=n;i++)//枚举
			{
				int mk=m-i<0? 0:m-i;
				if(mk%(n+1)==0)//对手面对奇异局势
				{
					if(flag)
						printf("%d",i),flag=0;
					else
						printf(" %d",i); 
				}
			}
			puts("");
		}
	}
	return 0;
 } 

2、尼姆博弈

有三堆各若干个物品，两个人轮流从某一堆取任意多的物品，

规定每次至少取一个，多者不限，最后取光者得胜。

尼姆博弈说的是三堆，但是他的方法却可以推广到任意堆。

尼姆博弈我只会用它的公式，至于原理，，搞不了

即，把所有堆的数量亦或起来，若为0，则先手必输

还要知道一个常识：a, b, a ^ b 三个数之间，两两亦或可得第三个数

分析：

存在一些奇异局势，会使得先手必输，如下面的情况（三堆时）

（0，0，0），（0，n，n）

只要面对这种局势，必输。

任何奇异局势（a，b，c）都有a（+）b（+）c =0。

获胜策略： 所以从一个非奇异局势向一个奇异局势转换的方式可以是：

1）使 a = c（+）b

2）使 b = a（+）c

3）使 c = a（+）b

例如： （14，21，39），14（+）21=27，39-27=12，

所以从39中拿走12个物体即可达到奇异局势（14，21，27）。

尼姆博弈练习题：HDU1850

分析：该题在求得先手是否有必赢策略的基础上，若能赢，输出方案数。

假如每一堆都可以取，取了之后必胜，方案数最多最多等于m（堆数）

看上面的获胜策略，想要留给对手奇异局势，就必须在某一堆取出一些，

使剩下的局势成为奇异局势。

假如我取第c堆想赢，就要保证c的数量大于其他堆的异或结果，才够减

等于不行，等于的话相当于把第c堆取完，

那么其余堆的总亦或不为0，这就给了对手有必赢策略的机会

代码：

#include
int main()
{
	int m;
	int a[10000];
	while(scanf("%d",&m),m)
	{
		int ans=0;
		for(int i=0;i0)//ans^a[i]得到的是除a[i]外所有堆的亦或结果 
					count++;
			}
			printf("%d\n",count);
		}
	}
	return 0;
}

3、威佐夫博弈

有两堆各若干个物品，两个人轮流从某一堆或同时从两堆中取同样多的物品，

规定每次至少取一个，多者不限，最后取光者得胜。

分析：

对于给出的两堆石子，记为a个和b个（a<=b），（a，b）。

存在一些特殊情况，当你面对下面一些情况时，必输。

（0，0）、（1，2）、（3，5）、（4，7）、（6，10）、（8，13）、（9，15）。

先看（0，0），若你目前面对这个局势，说明你的对手抢先一步赢了。

再看（1，2），不管你怎么取，你取完后，剩下只可能是（0,1）（0,2）（1,1），对手就会赢

上面的情况称为奇异局势（即 必输）。可以通过下面的公式得到这些奇异局势

a = [ k * eqa ]  （[ ] 代表取整数部分）

b = a + k

其中epa = （1+√5）/2= 1.618033 = (1+sqrt(5.0))/2.0 

可以用这个通项公式打表：

#include
#include
const int N=1000;
const double eqa=(1+sqrt(5.0))/2.0;
int a[N],b[N];
void makelose()
{
	for(int k=0;k

也可以判断任意给出的（a，b）是不是奇异局势

	scanf("%d%d",&a,&b)； 
	if(a>b)
	{
		a=a^b;
		b=a^b;
		a=a^b;
	}
	int k=b-a;
	if(a==(int)(k*eqa))
		puts("0");//是奇异局势，必败
	else
		puts("1");

威佐夫博弈练习题 HDU1527

取石子游戏

AC代码：

#include
#include
const double eqa=(1+sqrt(5.0))/2.0;
int main()
{
	int a,b;
	while(~scanf("%d%d",&a,&b))
	{
		if(a>b)
		{
			a=a^b;
			b=a^b;
			a=a^b;
		}
		int k=b-a;
		if(a==(int)(k*eqa))
			puts("0");//遇到奇异局势，必败
		else
			puts("1");
	}
	return 0;
}