计算机视觉大型攻略 —— 特征与匹配（1）Harris角点检测
这几篇文章开始写图像特征和匹配相关的内容。
参考书籍：Computer Vision: Algorithms and Applications， Richard Szeliski
特征点检测和匹配是计算机视觉应用的重要组成部分，以解决寻找一张图像上的点，在另一张图像上的位置的问题。应用于图像拼接，SLAM，3D重建等算法。通常特征点匹配可分为三个过程，特征点检测，定义特征描述符，特征匹配。
参考文献
[1] Obstacle Avoidance and Navigation in the Real World by aSeeing Robot Rover
[2] A COMBINED CORNER AND EDGE DETECTOR
特征点检测
特征点检测要解决的问题就是在图像上寻找有价值的点用于匹配。很容易想到的是，如果从白墙上找一个点，由于他没有什么显著特征，很难在其他图片上找到他的对应点。相反的，如果一个点有独一无二的特征，那么再找到这个点的机会就很大。这些点通常被称作角点(corner)。
文献[1]给出了寻找这些角点的方法——定义一个窗口，任意方向小幅度滑动该窗口，如果亮度的变化大，那么角点就在其中。
上图给出了常见的三种情况。
- "flat"。该窗口在任何方向上滑动，光强变化不大。
- "edge"。在沿某个角度(与边平行)滑动的时候，光强变化不大。
- "coner"。沿任意方向滑动，光强变化明显。
如上图，通常我们会定义一个窗口，在窗口内计算x方向和y方向的梯度Ix, Iy。
考虑上面所说的三种情况，flat, edge, corner. 下图可以看出Ix, Iy的相应分布。
数学模型
下面需要定量分析上面梯度的分布情况。
假设窗口W，滑动距离为(u, v)，定义一个SSD"误差"E(u, v)，我们要寻找的就是能使E(u,v)在各个方向都尽量大的窗口。
![E(u,v) = \sum _{(x,y)\in W} w(x,y)\left [ I(x+u,y+v)-I(x,y) \right ]^{2}](http://img.e-com-net.com/image/info8/0c757a3a75fd470caea09dfc7670ab86.gif){kind=small}
I(x, y)为原始窗口的光强，I(x+u, y+v)为移动后的光强。w(x,y)是窗口权重函数。
由于w(x,y)独立于后面的推导，后面的公式方便起见把他省略掉了。
将
泰勒展开，
![I(x+u, y+v) = I(x,y)+\frac{\partial I}{\partial x}u+\frac{\partial I}{\partial y}v+[high\: order \: terms]](http://img.e-com-net.com/image/info8/5c15b57b035a428baca1863d3fdea24a.gif){kind=small}
当(u, v)是小运动时，可约等于一阶部分。
其中， 
代入Error函数E(u,v)，
进一步展开，发现E(u,v)是一个二次误差函数，
写成矩阵的形式
用几何图形表示二次型，
flat, edge, corner的二次型图形表示如下，可以看到coner的形状，E(u,v)在各个方向上的值均较大，
只考虑E(u, v)的一个切面，即令，
可以看到该公式的几何表示是一个椭圆。注意到M是对称阵，将M三角化，
,
是M的特征值，R由特征向量构成，,分别表示了两个轴方向的变化。
,与flat, edge, corner的关系如下图。
- flat: ,值很小且相等，意味着E(u, v)在各个方向上都很小。
- edge: 与差异大，即上图切面为压得很扁的椭圆，此时E(u,v)在某一个方向上的变化很小。
- corner: ,值很大且相等，E(u, v)在各个方向上都很大。
清楚了,与E(u, v)的关系后，需要定义一个响应函数来评估一个点是否是角点。
[2]Harris88的提出的响应函数，
其中α是常量，取0.04到0.06之间的值。 这种情况下，如下图 所示， 
- flat: C的绝对值小于某个门槛。
- edge: C<0。
- corner: C>0，且C大于某个门槛。
由线性代数的"不难证明"可知，特征值的和等于矩阵对角线元素之和(矩阵的迹)，特征值的乘积等于矩阵的行列式，上面的响应函数C还可以写成，
这样的话计算C就无需计算矩阵M的特征值了。
算法步骤
- 计算图像导数Ix, Iy，
- 计算
, 
,
。 - 对, ,施加一个宽度为α的高斯滤波(窗口权重函数)。
- 计算C。
![C=det(M)-\alpha\: trace(M)^{2}=g(I_{x}^{2})g(I_{y}^{2})-g(I_{x}I_{y})^{2}-\alpha[g(I_{x}^{2})+g(I_{y}^{2})]^{2}](http://img.e-com-net.com/image/info8/05decfafb1444cadb031955370e3c7c6.gif)
- 通过一个门槛找出C值较高的点。
- 用Non-maxima suppression算法找出极值。