HDU4055 Number String --极经典的计数dp！

先简单说一下题意：给定一个只包含‘I’、‘D’、‘？’的字符串，其长度记为len，求解满足这种由字符串规定变化规律的（len+1）的排列个数，‘I’（increasing）表示前一个数字比后一个数字大，‘D’（decreasing）表示前一个数字比后一个数字小，‘？’表示前一个数字与后一个数字的大小关系任意。比如：满足“DIIDID”变化规律的一个排列是 3 1 2 7 4 6 5，即减小、增大、增大、减小、增大、减小的变换关系，题目链接：点击打开链接

这里还有一个官方的hint：

Permutation {1,2,3} has signature "II".Permutations {1,3,2} and {2,3,1} have signature "ID".Permutations {3,1,2} and {2,1,3} have signature "DI".Permutation {3,2,1} has signature "DD"."?D" can be either "ID" or "DD"."??" gives all possible permutations of length 3.

HDU4055 乍一看不像DP问题，很明显，确实不具有最优子结构，你想啊，容易想到把状态定义为F（i）（1<=i<=n）,表示i的符合条件的排列，但是i的具体的排列对后面明显有影响呢？

而后数十分钟的苦苦思索，却不得其所，为此求解各大博主，并测试了好几个博主的效率和方法，弄了我这个比较好懂且效率还比较可以的算法,题目要求java10s以内，其他语言5s以内，本算法大约1.7s，测试过几个3s和4s的，并且感觉写得太复杂。

下面介绍计数dp经典算法：

状态一开始就没有找对，怎么能那么直接的定义状态呢，一般是很难直接求解的，在这里定义dp[i][j]为状态，表示i的满足变换规律的排列，并且以数字j为结尾。

边界条件很简单：dp[1][1] = 1，但是注意每个测试样例必须要全部初始化为0，因为在计算过程中会需要一些并没有计算的值，这些值为0，正好避免了设置条件判断，在后面的代码中有提示的地方。

状态转移方程为：(sum表示求和)

简单理解去掉后效性：处理dp[1~i][]的过程中i是依次1~n相加。处理完dp[i-1][]后，加入的数即为i，而dp[i][j]是要将i放进去j换 出来，而这里有一种将i放进去j换出来，同时不影响升降顺序的方法是：将dp[i-1][j]的i-1个数的序列中 ≥j 的数都加1，这样i-1变成了i，j变成了j+1，而j自然就补在后面了。 --来自某位机智的博主（点击打开链接）(感谢提点)

1.‘I’：dp[i][j] = sum(dp[i-1][x])(1<=x<=j-1)  这个过程可以化简为：dp[i][j] = dp[i][j-1] + dp[i-1][j-1]；

2.‘D’:dp[i][j] = sum(dp[i-1][x])（j<=x<=i-1） 可化简为：dp[i][j] = dp[i][j+1] +dp[i-1][j];

3.‘？’:dp[i][j] = sum(dp[i-1][x])(1<=x<=i-1)

这个过程还是比较好理解的，只要搞懂前面的怎么让这个过程变成无后效性。

具体代码如下：

#include
#include
using namespace std;
const int m = 1e9 + 7;
const int n = 1010;
int dp[n][n];
string s;
int main()
{
	while (cin >> s)
	{
		int len = s.length()+1;//排列的最大数比字符个数大1
		memset(dp, 0, sizeof(dp));
		dp[1][1] = 1;
		for (int i = 2; i <= len; ++i)
		{
			char jud = s[i - 2];
			if (jud == 'I')
			{
				for (int j = 2; j <= i; ++j)//没有1结尾的递增，当然也可以写进去
				{
					dp[i][j] = (dp[i][j - 1] + dp[i - 1][j - 1]) % m;
				}
			}
			else if (jud == 'D')
			{
				for (int j = i-1; j >=1; --j)
				{
					dp[i][j] = (dp[i][j + 1] + dp[i - 1][j]) % m;
				}
			}
			else
			{
				int sum = 0;
				for (int j = 1; j < i; ++j)
				{
					sum = (sum + dp[i - 1][j]) % m;
				}
				for (int j = 1; j <= i; ++j)
					dp[i][j] = sum;
			}
		}
		int sum = 0;
		//计算所有符合条件的排列
		for (int j = 1; j <= len; ++j)
			sum = (sum + dp[len][j]) % m;
		printf("%d\n", sum);
	}
	return 0;
}