算法导论第22章：基本的图算法

目录

图的表示

特殊的图

图的遍历

拓扑排序（Topological Sort）

强连通分量（Strongly Connected Components）

欧拉回路（Eulerian Circuit）

题选

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图的表示

1.邻接矩阵（Adjacency Matrix）

2.邻接链表（Adjacency List）

3.完善邻接链表（Implementing Adjacency List）

4.握手定理：无向图所有结点的度之和 = 边数 * 2

特殊的图

1.树（Tree）

2.有向无环图（Directed Acyclic Graph）

3.二分图（Bipartite Graph）

图的遍历

1.深度优先搜索

2.广度优先搜索

拓扑排序（Topological Sort）

输入：DAG图

输出：如果e(u, v)，则u在v的前面（结果不唯一）

思路一： O(n² + m)

①找到一个入度为0的点，加入到答案，把它的前向边全部删除；

②重复这一过程。

思路二：Θ(n + m)

①预计算所有点的入度

②把入度为0的点加入队列

③对于每个在队列中的点的链表，减去对应点的入度，若入度为0，加入队列

④重复，直到队列空

加入队列的顺序即为拓扑序

思路三：Θ(n + m)

深度优先搜索，记录u.f为u结点邻接链表被扫描完之后的时间，按f从大到小排序即为拓扑序

只需证明：若e(u, v)则u在v前面。

e被探索时，v不可能为灰色，因为这意味这环；

若v为白色，v必为u的后代，u肯定后被处理完；

若v为黑色，v.f已经确定，必定小于u.f

强连通分量（Strongly Connected Components）

Kosaraju’s Algorithm：Θ(V+E)

①DFS计算出所有结点的扫描链表完成时间f

②按f的逆序搜索树，合并组成森林即为SCC

欧拉回路（Eulerian Circuit）

无向图有欧拉回路：连通，且每个节点的度为偶数

无向图有欧拉路：连通，且拥有奇数度数的结点个数为0或2

哈密尔顿： Looks similar but very hard (still unsolved)!

题选

1.求s->t的简单路径条数：拓扑排序+DP

2.判断图是否存在环：DFS过程观察是否有后向边，至多V次左右

3.给定有向图G = (V, E)，如果对于所有结点对u, v ∈ V，我们有u→v或v→u，则G是半连通的。请给出一个有效的算法来判断图G是否半连通的。证明算法的正确性并分析其运行时间。

ANSWER：先运行强连通分量算法，按照第二次DFS结点搜索顺序给连通分量按升序标号（1~k），并生成分量图SCC(G)。在分量图SCC(G)中，由于标号为 i+1 的连通分量不可能指向标号为 i 的连通分量，所以只需要从1~k按顺序检测是否存在(1, 2)、(2, 3) ... (k-1, k)的分量的边。若存在，则半连通；反之，则不是半连通。算法时间复杂度为O(V+E)。