MATLAB如何在有限域上求逆矩阵

以有限域GF(2)为例，假设矩阵a是有限域GF(2)上的矩阵

a =

     1     0     1     1     0     1     1     1
     1     1     0     1     1     0     1     1
     1     1     1     0     1     1     0     1
     0     1     1     1     1     1     1     0
     1     1     0     0     0     1     1     1
     0     1     1     0     1     0     1     1
     0     0     1     1     1     1     0     1
     1     0     0     1     1     1     1     0

首先，运行命令b=gf(a,2)

>> b=gf(a,2)
 
b = GF(2^2) array. Primitive polynomial = D^2+D+1 (7 decimal)
 
Array elements =
 
  Columns 1 through 8

           1           0           1           1           0           1           1           1
           1           1           0           1           1           0           1           1
           1           1           1           0           1           1           0           1
           0           1           1           1           1           1           1           0
           1           1           0           0           0           1           1           1
           0           1           1           0           1           0           1           1
           0           0           1           1           1           1           0           1
           1           0           0           1           1           1           1           0

然后运行命令c=inv(b)

>> c=inv(b)
 
c = GF(2^2) array. Primitive polynomial = D^2+D+1 (7 decimal)
 
Array elements =
 
  Columns 1 through 6

           0           1           1           1           0           1           1           1
           1           0           1           1           1           0           1           1
           1           1           0           1           1           1           0           1
           1           1           1           0           1           1           1           0
           1           1           0           0           1           0           1           1
           0           1           1           0           1           1           0           1
           0           0           1           1           1           1           1           0
           1           0           0           1           0           1           1           1

c即为a在有限域GF(2)上的逆矩阵。

验证：

>> a*c
 
ans = GF(2^2) array. Primitive polynomial = D^2+D+1 (7 decimal)
 
Array elements =
 
  Columns 1 through 6

           1           0           0           0           0           0
           0           1           0           0           0           0
           0           0           1           0           0           0
           0           0           0           1           0           0
           0           0           0           0           1           0
           0           0           0           0           0           1
           0           0           0           0           0           0
           0           0           0           0           0           0

  Columns 7 through 8

           0           0
           0           0
           0           0
           0           0
           0           0
           0           0
           1           0
           0           1