【题解】LuoGu1641：[SCOI2010]生成字符串

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初赛卡特兰题
想象在一个坐标系中
$e1$表示加入一个“1”，$e1=(1,1)$
$e2$表示加入一个“0”，$e2=(1,-1)$
问题转化成从$(0,0)$出发，到达$(n+m,n-m)$且不走到$x$轴以下的方案数

若不考虑是否走到$x$轴下面，方案数为$C_{n+m}^m$
若考虑走到过$x$轴下面的方案数，可以转化成从$(0,-2)$出发，其中有$m-1$个“0”，走到$(n+m,n-m)$的方案数，可以手画以下证明，为$C_{n+m}^{m-1}$

减一下就好了

Code：

#include 
#define maxn 2000010
#define LL long long
using namespace std;
const LL qy = 20100403;
int n, m;
LL fac[maxn], inv[maxn];

LL ksm(LL n, LL k){
	LL s = 1;
	for (; k; k >>= 1, n = n * n % qy) if (k & 1) s = s * n % qy;
	return s;
}

LL C(int n, int m){ return fac[n] * inv[n - m] % qy * inv[m] % qy; }

int main(){
	scanf("%d%d", &n, &m);
	fac[0] = 1;
	for (int i = 1; i <= n + m; ++i) fac[i] = fac[i - 1] * i % qy;
	inv[n + m] = ksm(fac[n + m], qy - 2);
	for (int i = n + m; i; --i) inv[i - 1] = inv[i] * i % qy;
	printf("%lld\n", (C(n + m, m) - C(n + m, m - 1) + qy) % qy);
	return 0;
}