【POJ 3666】Making the Grade

题目描述

给定一个长度为 n n 的序列 A A ，要求构造一个单调不上升或单调不下降的序列 B B 使得 ∑ni=1|ai−bi| ∑ i = 1 n | a i − b i | 的值最小，输出这个最小值。 1≤n≤2000 1 ≤ n ≤ 2000 。

算法分析

首先可以证明，数列 B B 中的数一定在数列 A A 中出现过，所以将数列 B B 的可能取值 C C 排序后使用动态规划求解（单调不上升求解一次，单调不下降求解一次）。

以单调不下降为例，定义 f[i][j] f [ i ] [ j ] 为数列 B B 第 i i 个数为 cj c j 时， ∑ik=1|ak−bk| ∑ k = 1 i | a k − b k | 的最小值，状态转移方程为：

f[i][j]=min1≤k≤jf[i−1][k]+|cj−ai| f [ i ] [ j ] = m i n 1 ≤ k ≤ j f [ i − 1 ] [ k ] + | c j − a i |

注意到 min1≤k≤jf[i−1][k] m i n 1 ≤ k ≤ j f [ i − 1 ] [ k ] 可以单独维护，时间复杂度降为 O(n2) O ( n 2 ) 。

代码实现

#include 
#include 
#include 
#include 
const int maxn=2005;
int n,a[maxn],b[maxn],f[maxn][maxn];
inline bool cmp(const int &x,const int &y) {return x>y;}
int main() {
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;++i) {
        scanf("%d",&a[i]);
        b[i]=a[i];
    }
    std::sort(b+1,b+n+1);
    for(int i=1;i<=n;++i) {
        int temp=INT_MAX;
        for(int j=1;j<=n;++j) {
            temp=std::min(temp,f[i-1][j]);
            f[i][j]=temp+abs(b[j]-a[i]);
        }
    }
    int ans=INT_MAX;
    for(int i=1;i<=n;++i) ans=std::min(ans,f[n][i]);
    std::sort(b+1,b+n+1,cmp);
    for(int i=1;i<=n;++i) {
        int temp=INT_MAX;
        for(int j=1;j<=n;++j) {
            temp=std::min(temp,f[i-1][j]);
            f[i][j]=temp+abs(b[j]-a[i]);
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;++i) ans=std::min(ans,f[n][i]);
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}