由食物链（NOI——2001）到并查集的深度理解

我们先来看一道题目：食物链(NOI2001)
动物王国中有三类动物 A,B,C，这三类动物的食物链构成了有趣的环形。A 吃 B，B
吃 C，C 吃 A。
现有 N 个动物，以 1 － N 编号。每个动物都是 A,B,C 中的一种，但是我们并不知道
它到底是哪一种。
有人用两种说法对这 N 个动物所构成的食物链关系进行描述：
第一种说法是“1 X Y”，表示 X 和 Y 是同类。
第二种说法是“2 X Y”，表示 X 吃 Y 。
此人对 N 个动物，用上述两种说法，一句接一句地说出 K 句话，这 K 句话有的是真
的，有的是假的。当一句话满足下列三条之一时，这句话就是假话，否则就是真话。
• 当前的话与前面的某些真的话冲突，就是假话
• 当前的话中 X 或 Y 比 N 大，就是假话
• 当前的话表示 X 吃 X，就是假话
你的任务是根据给定的 N 和 K 句话，输出假话的总数。

乍一看这道没有头绪，其实仔细一想你就会发现其中的端倪：应为食物链关系是环形的不难想到天敌的天敌就是自己的猎物，这就是一种传递关系。基于以上分析，我们不难想到用扩展域并查集来解决：
1.将每个动物拆分成三节点：自己，天敌，猎物。
再分析一下其中的关联：
若x是y的同类，那么x的天敌和y的天敌是一样的，同理，它们的猎物也是一样的，由此，就合并它们两自己，天敌和猎物；
若x吃y，那么意思就是说x的猎物和y是一样的，x与y的天敌是一样的，x的猎物与y的天敌是一样的。同上，分别合并它们。
由此就出了正解：代码如下：

#include
#define maxn 80000 
using namespace std;
int n,m,fa[maxn*3],ans=0;//1~n表示自己，n+1~2n表示天敌，2n+1~3n表示猎物。
int get(int x)
{
	if(x==fa[x])return x;
	return fa[x]=get(fa[x]);
}
inline void add(int x,int y)
{
	fa[get(x)]=fa[get(y)];
	return ;
}

int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=3*n;++i)
	fa[i]=i;
	for(int i=1;i<=m;++i)
	{
		int x,y,op;
		scanf("%d",&op);
		if(op==1)
		{
			
			scanf("%d%d",&x,&y);
			if(get(x)==get(y+n*2)||get(x+2*n)==get(y)||x>n||y>n)ans++;
			else
			{
				add(x,y);
				add(x+n,y+n);
				add(x+2*n,y+2*n);
			} 
		}
		else
		{
			scanf("%d%d",&x,&y);
			if(get(x)==get(y)||get(x)==get(y+n*2)||x>n||y>n)ans++;
			else
			{
				add(x,y+n);
				add(x+n,y+n*2);
				add(x+2*n,y);
			} 
		}
	}
	printf("%d",ans);
	return 0;
 } 

从这道题中，我们可以总结出，并查集擅长维护具有传递关系的及其连通性。而在某些问题中，传递关系不止一种，并且这些传递关系能够互相导出。此时就可以使用扩展域或者边带权的并查集来维护解决问题。