记\(f(n)\)为将正整数\(n\)拆分成若干个整数之和的方案数例如由于\(4=1+1+1+1=1+1+2=2+2=1+3=4\)，所以\(f(4)=5\)，同样的，有\(f(5)=7\)
普通的背包dp做法在这里不再叙述，这里仅介绍生成函数的做法
考虑\(f(n)\)的生成函数\(F(x)\)，通过枚举使用了多少个1，多少个2，多少个3，……可得
\[ F(x)=\prod_{i=1}^{\infty}(1+x^i+x^{2i}+\cdots)=\prod_{i=1}^{\infty}\frac{1}{1-x^i} \]
求\(F(x)\)的话我们可以考虑构造它的逆\(G(x)\)，即找到\(G(x)\)使得\(F(x)G(x)=1\)，然后套用多项式求逆即可，显然\(G(x)=\prod_{i=1}^{\infty}(1-x^i)\)
好了，著名大佬欧拉已经展开了这个\(G(x)\)，它被记作欧拉函数\(\phi(x)\)（注意和数论中的那个有多少个数和它不互质的欧拉函数区别一下）
\[ \phi(x)=\prod_{i=1}^{\infty}(1-x^i)=1+\sum_{i=-\infty,i\neq0}^{\infty}(-1)^ix^\frac{i(3i-1)}{2}=1+\sum_{i=1}^{\infty}(-1)^i x^{\frac{i(3i\pm1)}{2}} \]
其中\(\frac{i(3i\pm1)}{2}\)就是广义五边形数，在\(i>0\)时，\(\frac{i(3i-1)}{2}\)被称作五边形数，大概长成这个样子（都知道这张图从哪里来的了吧）
然后当这个\(i\)可以取负数的时候，上式得到的所有数就被称作广义五边形数，不难将两种情况规约到\(\frac{i(3i\pm 1)}{2}(i>0)\)
那么这两个式子为什么是相等的呢？
我们考虑一下\(\phi(x)=\prod_{i=1}^\infty(1-x^i)\)的意义,由于所有\(i\)互不重复且前面有一个\(-1\)的系数，故其第\(n\)项的意义就表示了将\(n\)拆成偶数个不同的数的和\(-\)将\(n\)拆分成奇数个互不相同的数的方案数
为了更形象的说明这个问题，我们考虑引入一种新的图像：Ferrers图：
一个从上而下的n层格子，\(m(i)\) 为第\(i\)层的格子数，当\(m(i)>=m(i+1)\)，其中\((i=1,2,…，n-1)\),即上层的格子数不少于下层的格子数时(weakly decreasing)，称之为Ferrers图像(Ferrers diagram)
——百度百科
那么对于\(n\)的每一种拆分，将每一行的格子数看成\(n\)拆出来的某一个数，它可以唯一的对应到一个Ferrers图，它的层数就表示在该拆分方案中\(n\)被拆成了几个数的和，比如说18=7+6+4+1，它的Ferrers图像大概就是这样的（用0表示格子）
0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0
0
接下来，我们记\(m\)为最后一行的格子数，\(s\)为最靠右的倾斜度数为\(45^{\circ}\)的对角线，比如说我们分别用\(1,2\)表示上面的那个图中对\(m\)和\(s\)有贡献的情况
0 0 0 0 0 0 2
0 0 0 0 0 2
0 0 0 0
1
接下来考虑这样一个变换：
（1）若\(m\leq s\)，我们将最后一行的格子分别放到前\(s\)行中，比如上面的那个图就变成了
0 0 0 0 0 0 2 1
0 0 0 0 0 2
0 0 0 0
（2）若\(m>s\)，我们将最右边的那条对角线全部放到最后一行中（即为它新开一行），比如（1）中的那个图就会回到一开始的样子
这样的话我们在\(n\)相同的两个Ferrers图中建立起了对应关系，并且一个的层数是奇数，另一个是偶数，也就是说对于大部分数，它的奇数个数拆分方案数=偶数个数拆分方案数，也就是说此时\(x^n\)的系数为0
但是显然会有一些特例的数，比如说它的某一个Ferrers图在经过变换之后得到了同样的图或者会构造出一个不合法的图，有如下两种情况
(1)\(m=s\)且最右对角线和最后一行有相交部分，如下图
0 0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0
将其进行变换之后得到下图
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0
注意到此时层数的奇偶性并未变换，并且最后那张图会和另一张行数为偶数的图互为对应，记\(k=m\)，则像此情况中的图对系数的贡献是\((-1)^k\)，其对应的\(n\)是
\[ k+(k+1)+(k+2)+\cdots+(2k-1)=\frac{k(3k-1)}{2}(k>0) \]
(2)\(m=s+1\)且最右的对角线和最后一行有交，如下图
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0
变换后得到的图如下
0 0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0
0 0 0
注意到这不是一个合法的Ferrers图，同样的，记\(k=1-m\),，此时对系数的贡献仍然是\((-1)^k\)，且其对应的\(n\)是
\[ (1-k)+(2-k)+\cdots+(-2k)=\frac{k(3k-1)}{2}(k<0) \]
注意到这两个个式子的形式均符合五边形数，同时由于\(k\)可以取遍正负整数，所以系数非\(0\)的项的次数就是广义五边形数，且它的系数就是\((-1)^k\)
好了，现在我们已经彻底的搞清楚了\(\phi(x)\)是什么了，直接套用多项式求逆的板子的话就可以做到\(O(nlogn)\)求拆分数\(f(1),f(2),\cdots,f(n)了\)
loj上有一个模板题：https://loj.ac/problem/6268
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