计算方法第六章笔记

数值积分

引入

定积分如何用数值的方法来求解。（且这里假定ab不是∞，而且这里是无法求解多重积分的，一般多重积分可以使用蒙特卡洛的方法求解）。
本章中讲解的是一重有限上下界的积分。

• a，b积分上下限
• f(x)被积函数
• [a,b]积分区间（后面的讨论都是在这个积分区间之内，不会超过该积分区间）
• F(x)是f(x)的原函数
• 限制：如果能够使用Newton-Leibniz公式进行求解需要知道被积函数f(x)以及原函数F(x)才可以
• 如何避免使用原函数就能计算被积函数的积分呢？
  一般在以下情况下不考虑Newton-Leibniz公式：
  
  情况一：原函数求不出来
  
  
  
  
  情况二：原函数过于复杂对于求导等计算十分不便

情况三：f(x)没有解析式，只有数表形式

这里面虽然也使用了函数表但是这里的函数表的构造方式和第五章的有所区别（区别在哪？？）

积分中值定理

• 左端是定积分的值，右端是一个函数值和积分上下限的乘积，好处：不需要原函数只需知道积分上下限的信息和函数值的信息即可求解。其实数值积分的思想也由此而来，不使用原函数，而是利用已知函数值和相应区间来表达，函数值取得的代表点越多，结果越精确。
• 在使用第二积分中值定理的时候一定要注意g(X)在区间[a,b]上不变号，f在里面g是拿出来的。
• 都是存在性定理

Newton-Cotes求积公式

一般来说点都是在[a,b]上等距选择的，一般来说数值积分的方法，是把这些取出来的离散点的函数值进行某些线性组合（得到的是近似值，没考虑误差）现在系数怎么样，是如何得到的还不知道。如果把f（x)取成插值函数，而且所有点都已知。

插值型求积公式与代数精度

求和符号可以拿到积分的外面，因为是有限多个。而且f(x_k)也可以拿到积分的外面。因为当前的积分变量是x，但是这里的f(x_k)是一个确定的已知的函数值的数，与积分变量无关，所以可以拿到积分外面。再引进一个记号w代替积分，然后引入Q_n[f]作为插值型数值积分公式。

定积分问题变成数值问题
如果对于一些特别的多项式成立，但是对于其他的比较高阶的多项式不成立是否就可以判断该插值型求积公式的精度问题。（难道是看能够表达的范围大小来判断？？）

首先证明所有不超过m次的都成立；其次只要能够找到一个m+1次代数精度的不成立就可以证明它不成立，只要能证明x⁰,x¹,x^m成立即可

上面两个了解即可。

首先分析题目利用代数精度将A，B，C的值求出（条件是使得代数精度尽可能高）
首先考虑整个公式里有3个未知数，所以要构造3个方程，再由刚才的得到的能够符合的三个从最低的往后选，有1，x，x²，代入求积公式进行求解，后面要求真正的精确度的话，将下一个幂次的表达式代入求解。

Newton-Cotes求积公式

这个公式的特点是求积节点是在等距的条件下选取的。把[a,b]区间n等分

cotes系数只和n有关上面的式子不算h是cotes系数
当n是奇数的时候代数精确度是n
当n是偶数的时候代数精确度是n+1

上面的公式就是把每个值代入到最上面的求积系数公式中去，所以上面那个公式要记住。

代数精确度是1.

上面的梯形求积公式记住，然后后面的余项也记住！！！超级重要⚠️⚠️⚠️

举例：

下面的simpson公式也超级重要！！！⚠️

余项证明过程：

复合求积公式和Romberg求积公式

分段低次就是把[a,b]区间分割成若干小的区间，然后将这些区间合到一起（根据积分区间的可加性），低次指的是在每个小的区间上只用n=1或n=2这样的不再高了去构造一个求积公式。

复合梯形求积公式

复合simpson公式

因为每一个simpson公式都需要3个点，所以把区间作2m等分这样就不会有用不到的区间了。