27 多路查找树

多路查找树

1. 二叉树与 B 树

1. 二叉树需要加载到内存，如果二叉树的节点较少，没有什么问题，但是如果二叉树的节点很多就会出现如下问题：
   • 在构建二叉树时，需要多次进行 IO 操作（数据可能存储在数据库或文件中），所以对构建二叉树的速度会有影响。
   • 海量的节点，也会造成二叉树的高度很大，会降低操作速度。

2. 多叉树

1. 在二叉树中，每个节点有数据项，最多有两个子节点。如果允许每个节点可以有更多的数据项和更多的子节点， 就是多叉树。

2. 多叉树通过重新组织节点，减少树的高度，能对二叉树进行优化。

3. 举例

3. B 树的基本介绍

1. B 树通过重新组织节点，降低树的高度，并且减少 IO 读写次数来提升效率。

   

2. 如图 B 树通过重新组织节点， 降低了树的高度。

3. 文件系统及数据库系统的设计者利用了磁盘预读原理，将一个节点的大小设为等于一个页(页得大小通常为 4k)，这样每个节点只需要一次 I/O 就可以完全载入。

4. 将树的度 M 设置为 1024，在 600 亿个元素中最多只需要 4 次 I/O 操作就可以读取到想要的元素, B 树(B+)广泛应用于文件存储系统以及数据库系统中。

4. 2-3 树

4.1 2-3 树是最简单的 B 树结构，特点如下

1. 2-3 树的所有叶子节点都在同一层.(只要是 B 树都满足这个条件) 。
2. 有两个子节点的节点叫二节点，二节点要么没有子节点，要么有两个子节点。
3. 有三个子节点的节点叫三节点，三节点要么没有子节点，要么有三个子节点。
4. 2-3 树是由二节点和三节点构成的树。

4.2 2-3 树应用案例

1. 将数列 {16, 24, 12, 32, 14, 26, 34, 10, 8, 28, 38, 20} 构建成 2-3 树，并保证数据插入的大小顺序。

2. 构建之后的树的结构如下：

   

3. 插入规则

   • 2-3 树的所有叶子节点都在同一层.(只要是 B 树都满足这个条件) 。
   • 有两个子节点的节点叫二节点，二节点要么没有子节点，要么有两个子节点。
   • 有三个子节点的节点叫三节点，三节点要么没有子节点，要么有三个子节点。
   • 当按照规则插入一个数到某个节点时，不能满足上面三个要求，就需要拆，先向上拆，如果上层满，则拆本层，拆后仍然需要满足上面 3 个条件。
   • 对于三节点的子树的值大小仍然遵守(BST 二叉排序树)的规则。

5. B 树、B+ 树和 B* 树

5.1 B 树的介绍

1. B-tree 树即 B 树，B 即 Balanced，平衡的意思。

2. 在学习 Mysql 时，经常听到说某种类型的索引是基于 B 树或者 B+树的，如图:

3. B 树的阶：节点的最多子节点个数。比如 2-3 树的阶是 3，2-3-4 树的阶是 4。

4. B- 树的搜索，从根结点开始，对结点内的关键字（有序）序列进行二分查找，如果命中则结束，否则进入查询关键字所属范围的儿子结点；重复，直到所对应的儿子指针为空，或已经是叶子结点。

5. 关键字集合分布在整颗树中, 即叶子节点和非叶子节点都存放数据。

6. 搜索有可能在非叶子结点结束。

7. 其搜索性能等价于在关键字全集内做一次二分查找。

5.2 B+ 树的介绍

1. B+树是 B 树的变体，也是一种多路搜索树。

2. B+树的搜索与 B 树也基本相同，区别是 B+树只有达到叶子结点才命中（B 树可以在非叶子结点命中），其性能也等价于在关键字全集做一次二分查找。
3. 所有关键字都出现在叶子结点的链表中（即数据只能在叶子节点【也叫稠密索引】），且链表中的关键字(数据)恰好是有序的。
4. 不可能在非叶子结点命中 。
5. 非叶子结点相当于是叶子结点的索引（稀疏索引），叶子结点相当于是存储（关键字）数据的数据层。
6. 更适合文件索引系统。
7. B 树和 B+树各有自己的应用场景，不能说 B+树完全比 B 树好，反之亦然。

5.3 B* 树的介绍

1. B* 树是 B+ 树的变体，在 B+ 树的非根和非叶子结点再增加指向兄弟的指针。

2. B*树分配新结点的概率比 B+树要低，空间使用率更高。