统计页码数字问题

统计数字问题

问题描述：

一本书的页码从自然数1 开始顺序编码直到自然数n。书的页码按照通常的习惯编排，每个页码都不含多余的前导数字0。例如，第6 页用数字6 表示，而不是06 或006 等。数

字计数问题要求对给定书的总页码n，计算出书的全部页码中分别用到多少次数字0，1，2，…，9。

编程任务：

给定表示书的总页码的10 进制整数n (1≤n≤109) 。编程计算书的全部页码中分别用到多少次数字0，1，2，…，9。

数据输入：

输入数据由文件名为input.txt的文本文件提供。每个文件只有1 行，给出表示书的总页码的整数n。

结果输出:

程序运行结束时，将计算结果输出到文件output.txt中。输出文件共有10行，在第k行

输出页码中用到数字k-1 的次数，k=1，2，…，10。

输入文件示例 输出文件示例

input.txt 

11

output.txt

1

4

1

1

1

1

1

1

1

1

解题思路1：根据输入的数字Num，从1到Num 一 一统计每个数字出现的次数。

算法时间复杂度： O(n*log10(n))

算法：

for(i =  1; i <= n; i++) 
{
   t = i;
    while(t) {
       count[t% 10]++;   //count数组是每个数字出现次数的计数器
       t/= 10;
   }
}

f(n)=10*f(n-1)+10^(n-1)

f(n-1)=10*f(n-2)+10^(n-2)

f(n-2)=10*f(n-3)+10^(n-3)

             .

             .

             .

f(2)=10f(1)+10^1

可见：f(n)=10^(n-1)+(n-1)*10^(n-1)

即：f(n)=n*10^(n-1),利用此公式计算每个数字的出现次数，计算0的出现次数时，最后减去多余的前导0的出现次数即可。

举例（取区间法）：

比如计算32871，从高位向低位看，可以看到该数包含3个0000~9999的区间（0~9999，10000~19999，20000~29999），即每个数字出现的次数为3f(4),其中多余的前导0出现在0000~9999区间中，经观察可知多了10^3+10^2+10^1+1个0。(0000-0999,10^3个0;000-099,10^2个0;00-09,10^1个0;开始的0,10^0个0)

其中，最高位上1，2共出现10^4次。接着计算30000~32871，此处最高位的3共出现2872次。于是，着眼点就落在0000~2871中各数字的出现次数上，此时依照上面的取区间法，一次一次去掉最高位，直到剩下个位时为止，这里不会有多余的前导0（你懂的）。

算法时间复杂度： log10(n)

inline  int Process( int n)   //f(n)=n*10^(n-1)原著公式
{
    return n*pow( 10,n- 1);
}

void Dispose( int a[], int n, int &c0) //页码处理过程
{
    int t=log10(n),temp=n; //假设输入数字为m位，t表示m-1
   
    while(t)
   {
       temp/=pow( 10,t); //temp为最高位数字
        if(temp!= 0)
       {
           n-=temp*pow( 10,t); //去除最高位数字
            for( int i= 0;i<= 9;i++)
               a[i]+=temp*Process(t); //每位数字加上m*f(m-1)，即一个高位乘以低m-1位的区间
       }
       a[temp--]+=n+ 1; //高位数字因低m-1位数字的出现次数
    while(temp>= 0)a[temp--]+=pow( 10,t); //同上
       c0+=pow( 10,t); //需要去除多余0的个数
        //while与c0这两步可改为while(temp>0)a[temp--]+=pow(10,t);这样做在主函数中只需减去1个多余前导0
        if(n<10&&t== 1)
       {
            for( int i= 0;i<=n;i++)
               a[i]++;
           n= 0;
       }
       temp=n;
       t--;
   }
}

源代码：

#include
#include
#include
#include
#include
using  namespace std;

inline  int Process( int n) //f(n)=n*10^(n-1)原著公式
{
    return n*pow( 10,n- 1);
}

void Dispose( int a[], int n, int &c0) //页码处理过程
{
    int t=log10(n),temp=n; //假设输入数字为m位，t表示m-1
   
    while(t)
   {
       temp/=pow( 10,t); //temp为最高位数字
        if(temp!= 0)
       {
           n-=temp*pow( 10,t); //去除最高位数字
            for( int i= 0;i<= 9;i++)
               a[i]+=temp*Process(t); //每位数字加上m*f(m-1)，即一个高位乘以低m-1位的区间
       }
       a[temp--]+=n+ 1; //高位数字因低m-1位数字的出现次数
        while(temp>= 0)a[temp--]+=pow( 10,t); //同上
       c0+=pow( 10,t); //需要去除多余0的个数
        //while与c0这两步可改为while(temp>0)a[temp--]+=pow(10,t);这样做在主函数中只需减去1个多余前导0
        if(n<10&&t== 1)
       {
            for( int i= 0;i<=n;i++)
               a[i]++;
           n= 0;
       }
       temp=n;
       t--;
   }
}

void write()
{
   fstream t;
   t.open( "F: \\ Input.txt",ios::out);
    if(!t)
   {
       cout<< "Can't open Input.txt"<         return; 
   }
   srand(( unsigned)time(NULL));
    for( int i= 0;i<20;i++)
       t<10000<    t.close();
}

void main()
{
    int n,a[ 10]={ 0},c0= 0; //c0是多余的0的总数
   fstream f,fo;
   write();
   fo.open( "F: \\ Output.txt",ios::out);
    if(!fo)
   {
       cout<< "Can't open Output.txt"<         return; 
   }
   f.open( "F: \\ Input.txt",ios::in);
    if(!f)
   {
       cout<< "Can't open Input.txt"<         return; 
   }
    while(!(f>>n).eof())
   {
        if(n<10)
       {
            for( int i= 1;i<=n;i++)
               a[i]++;
            for( int i= 0;i<=n;i++)
               cout<             return;
       }
       Dispose(a,n,c0);