NOIP 2007 普及组解题报告--…

原文地址：NOIP 2007 普及组解题报告-------3、守望者的逃离 作者：Oriverira

3、守望者的逃离
(escape.pas/c/cpp)
【问题描述】
恶魔猎手尤迪安野心勃勃，他背叛了暗夜精灵，率领深藏在海底的娜迦族企图叛变。守望者在与尤迪安的交锋中遭遇了围杀，被困在一个荒芜的大岛上。为了杀死守望者，尤迪安开始对这个荒岛施咒，这座岛很快就会沉下去。到那时，岛上的所有人都会遇难。守望者的跑步速度为17m/s，以这样的速度是无法逃离荒岛的。庆幸的是守望者拥有闪烁法术，可在1s内移动60m,不过每次使用闪烁法术都会消耗魔法值10点。守望者的魔法值恢复的速度为4点/s，只有处在原地休息状态时才能恢复。
现在已知守望者的魔法初值M，他所在的初始位置与岛的出口之间的距离S,岛沉没的时间T。你的任务写写一个程序帮助守望者计算如何在最短的时间内逃离荒岛，若不能逃出，则输出守望者在剩下的时间能走的最远距离。注意：守望者跑步、闪烁或休息活动均以秒(s)为单位，且每次活动的持续时间为整数秒。距离的单位为米(m)。

【输入】
在输入文件escape.in仅一行，包括空格隔开的三个非负整数M,S,T。

【输出】
在输出文件escape.out包括两行：
第1行为字符串“Yes”或“No”（区分大小写），即守望者是否能逃离荒岛。
第2行包含一个整数。第一行为“Yes”（区分大小写）时表示守望者逃离荒岛的最短时间；第一行为“No”（区分大小写）时表示守望者能走的最远距离。

【输入输出样例1】
escape.in escape.out
39 200 4 No
197

【输入输出样例1】
escape.in escape.out
36 255 10 Yes
6

【限制】
30%的数据满足：1<=T<=10,1<=S<=100
50%的数据满足：1<=T<=1000,1<=S<=10000
100%的数据满足：1<=T<=300000,0<=M<=1000,1<=S<=108.

【试题分析】
典型的动态规划。
设f[i,j]为第i秒，魔法值为j时可行的最大距离。
f[i,j]:=max{f[i-1,j]+17,f[i-1,j-10]+60,f[i-1,j+4]} (当j≥10时);
f[i,j]:=max{f[i-1,j]+17,f[i-1,j+4]} (当j<10时)
按题目所说，最大魔法值为1000，最大时间为300000秒，那么需要300000000的数组，空间会溢出，所以使用两个一维数组来迭代，只需2000的数组，但是时间复杂度为O(t*m)，有可能会超时。

【参考程序1】
program a3(input,output);
var
a,b:array[0..10000]of longint;
m,s,t,i,j:longint;
function max(a,b,c:longint):longint; {三个数找最大值}
var
k:longint;
begin
if a>b then k:=a else k:=b;
if k max:=k;
end;
begin
assign(input,'escape.in');
assign(output,'escape.out');
reset(input);
rewrite(output);
readln(m,s,t);
for i:=0 to 10000 do {数组清0}
begin
a[i]:=0;
b[i]:=0;
end;
for i:=1 to t do
begin
for j:=0 to 9 do
begin
b[j]:=max(a[j]+17,a[j+4],0); {动态规划}
if b[j]>=s then
begin
writeln('Yes'); {找到最小解，提前退出}
writeln(i);
close(input);
close(output);
halt;
end;
end;
for j:=10 to m do
begin
b[j]:=max(a[j]+17,a[j+4],a[j-10]+60); {动态规划}
if b[j]>=s then
begin
writeln('Yes'); {找到最小解，提前退出}
writeln(i);
close(input);
close(output);
halt;
end;
end;
a:=b;
end;
writeln('No'); {无解}
writeln(a[m]);
close(input);
close(output);
end.

{注：此程序两个点超时}

【深入思考】
前面的动态规划时间复杂度太高，是否能想出更优的算法呢？思考一下，可以发现，中间的过程无非就是闪烁加恢复魔法，有时再走几步，我们用ms数组记录，闪烁加恢复魔法可走的最大距离，再和走路比较，选出最优方案，存入ts数组，这样的话，时间复杂度只有O(t),比前面的算法好得多。

【参考程序2】
program a3_2(input,output);
var
m,s,t,ti:longint;
ms:array[1..2,0..300000] of longint;
ts:array[0..300000] of longint;
begin
assign(input,'escape.in');
assign(output,'escape.out');
reset(input);
rewrite(output);
readln(m,s,t);
ms[2,0]:=m;
ts[0]:=0;
for ti:=1 to t do {动态规划}
begin
if ms[2,ti-1]>=10 then {如果能使用闪烁，就是用}
begin
ms[1,ti]:=ms[1,ti-1]+60;
ms[2,ti]:=ms[2,ti-1]-10;
end
else
begin
ms[1,ti]:=ms[1,ti-1]; {恢复魔法值}
ms[2,ti]:=ms[2,ti-1]+4;
end;
if ts[ti-1]+17>ms[1,ti] then ts[ti]:=ts[ti-1]+17 else ts[ti]:=ms[1,ti]; {找出大的值}
if ts[ti]>=s then {如果顺利逃出，输出结果}
begin
writeln('Yes');
writeln(ti);
close(input);
close(output);
halt;
end;
end;
writeln('No'); {无法逃出，输出结果}
writeln(ts[t]);
close(input);
close(output);
end.
{此程序所有测试点全部通过}