小球放入盒中的方法总结（排列组合）

本篇博客主要讲解球盒模型问题中所有情况，因为该问题是组合数学中的最常见的一类问题，所以有必要在这里详细地说一说。

该类问题涉及到三个因素，分别是球、盒子、盒子是否可以为空。所以大概可以将该问题分为以下八种情况：

1.将r个无区别的球放入n个有标志的盒中，盒内数目无限制，有多少种情况？

2.将r个有区别的球放入n个有标志的盒中，没有一个盒子为空，有多少种情况？

3.将r个无区别的球放入n个有标志的盒中，没有一个盒子为空，有多少种情况？

4.将r个有区别的球放入n个无标志的盒中，没有一个盒子为空，有多少种情况？

5.将r个有区别的球放入n个有标志的盒中，盒内数目不限制，有多少种情况？

6.将r个有区别的球放入n个无标志的盒中，盒内数目不限制，有多少种情况？

7.将r个无区别的球放入n个无标志的盒中，盒内数目不限制，有多少种情况？

8.将r个无区别的球放入n个无标志的盒中，没有一个盒子为空，有多少种情况？

总的来说，分为以下8种情况：

球	盒子	盒子内数目限制
无区别	有标志	数目不限
无区别	有标志	无一空盒
无区别	无标志	数目不限
无区别	无标志	无一空盒
有区别	有标志	数目不限
有区别	有标志	无一空盒
有区别	无标志	数目不限
有区别	无标志	无一空盒

下面开始详细讲解：

1.将r个无区别的球放入n个有标志的盒中，盒内数目无限制，有多少种情况？

方法数目为：F(n,r)=Crn+r−1=(n+r−1)!r!(n−1)!F(n,r)=Cn+r−1r=(n+r−1)!r!(n−1)!

本质上是多重组合问题，也就是从n个不同的元素中可重复地选取r个不考虑顺序的组合数为F(n,r)

2.将r个有区别的球放入n个有标志的盒中，没有一个盒子为空，有多少种情况？

方法数目为：∑ni=0(−1)iCin(n−i)r∑i=0n(−1)iCni(n−i)r

可以用容斥原理来解答，设AiAi表示盒子i为空的情况，那么方法数就是|A1¯¯¯¯¯¯∩A2¯¯¯¯¯¯...∩An¯¯¯¯¯¯|=nr−C1n(n−1)r+C2n(n−2)r+...+(−1)nCnn(n−n)r|A1¯∩A2¯...∩An¯|=nr−Cn1(n−1)r+Cn2(n−2)r+...+(−1)nCnn(n−n)r

或者可以从第二类Stirling数的角度来思考，方法数为n!S(r,n)n!S(r,n),结果和上面的一致。

3.将r个无区别的球放入n个有标志的盒中，没有一个盒子为空，有多少种情况？

可以用母函数或者多重组合来解决，方法数为Cr−nr−1=Cn−1r−1Cr−1r−n=Cr−1n−1

4.将r个有区别的球放入n个无标志的盒中，没有一个盒子为空，有多少种情况？

方法数为第二类Stirling数，S(r,n)=1n!∑ni=0(−1)iCin(n−i)rS(r,n)=1n!∑i=0n(−1)iCni(n−i)r

这里说明一下，第二类Stirling数S(r,n)就是将r个元素的集合划分为n个不相交非空子集的方案数。

5.将r个有区别的球放入n个有标志的盒中，盒内数目不限制，有多少种情况？

这种情况最简单了，方案数目为nrnr

也就是每次放一个球，都有n种放法。

6.将r个有区别的球放入n个无标志的盒中，盒内数目不限制，有多少种情况？

这种情况也是用第二类Stirling数来解决，可以理解为有0个盒子为空，有1个盒子为空，有两个盒子为空……

方案数目为S(r,1)+S(r,2)+...+S(r,n)S(r,1)+S(r,2)+...+S(r,n)

其中，S(r,n)表示划分成n个子集，也就是没有一个为空，S(r,n-1)划分为n-1个子集，也就是有一个盒子为空。

7.将r个无区别的球放入n个无标志的盒中，盒内数目不限制，有多少种情况？

方法数目为1(1−x)(1−x2)...(1−xn)1(1−x)(1−x2)...(1−xn)的xrxr的系数

8.将r个无区别的球放入n个无标志的盒中，没有一个盒子为空，有多少种情况？

方法数目为xn(1−x)(1−x2)...(1−xn)xn(1−x)(1−x2)...(1−xn)的xrxr的系数

第7、8两种情况较为复杂，在此不做解释。