离散数学第三部分（三、八、九）
第三章 逻辑谓词
（1）、谓词用来指明个体的性质或个体之间的关系等。
（2）、全称量词 ∀
（3）、存在量词 ∃
（4）、谓词等值式与蕴涵式
| 名称 | 公式 |
|---|---|
| ∃x(A(x) ∨ B(x)) <=> ∃xA(x) ∨ ∃xB(x) | |
| ∀x(A(x) ∧ B(x)) <=> ∀xA(x) ∧ ∀xB(x) | |
| ┐∃xA(x) <=> ∀x┐A(x) | |
| ┐∀xA(x) <=> ∃x┐A(x) | |
| ∀x(A ∨ B(x)) <=> A ∨ ∀xB(x) | |
| ∃x(A ∧ B(x)) <=> A ∧ ∃xB(x) | |
| ∃x(A(x) → B(x)) <=> ∀xA(x) → ∃xB(x) | |
| ∀xA(x) → B <=> ∃x(A(x) → B) | |
| ∃xA(x) → B <=> ∀x(A(x) → B) | |
| A →∀xB(x) <=> ∀x(A→ B(x)) | |
| A →∃xB(x) <=> ∃x(A→ B(x)) | |
| ∀xA(x) ∨ ∀xB(x) => ∀x(A(x) ∨ B(x)) | |
| ∃xA(x) ∧ ∃xB(x) => ∃x(A(x) ∧ B(x)) | |
| ∃xA(x) → ∀xB(x) => ∀x(A(x) → B(x)) |
（5）、前束范式
（6）、谓词演算的推理理论
第八章 图
一、图的基本概念
（1）、一个图包含两个部分，顶点和边，用G = （V，E）表示。
稀疏图：顶点数多于边的数目，即 | V | > | E |。
稠密图：顶点数少于边的数目，即 | V | < | E |。
零图：图一条边也没有。
平凡图：图仅有一个顶点。
（2）、当边有方向后，称为有向边，也称为弧。
若图中的边均是有向边，则图称为有向图；若图中的边均是无向边，则图称为无向图。
（3）、简单图：不含多重边及环的图。
同一条边连接的两个顶点称为边的端点，两个端点互称为邻接点。
（4）、设无向图 G = （V，E），顶点v（v ∈ V）关联的边数称作该顶点的度数，记为deg（v）。
deg（v） = 0，则v称为孤立点。
deg（v） = 1，则v称为悬挂点。
若v有环，计算度时deg（v）增加2。
若deg（v）为奇数，称 v 为奇点。
若deg（v）为偶数，称 v 为偶点。
（5）、图 G = （V，E）中，顶点度数总和等于边数的两倍。
∑ deg（v） = 2 | E |
（6）、对任意的图 G，奇顶点必为偶数个。
（7）、有向图中，所有顶点的入度之和等于所有顶点的出度之和。
（8）、若每个顶点都与其余的n-1个顶点邻接，则称G为n阶无向完全图。
无向完全图共有 n（n-1）/ 2 条边。
（9）、若每个顶点都邻接到其余的n-1个顶点，则称G为n阶有向完全图。
有向完全图共有 n（n-1） 条边。
（10）、在无向图G = （V，E）中，如果每个顶点的度都是k，则图G称为k-正则图。
（11）、图G = （V，E），如图G/ = （V/，E/），且 E/ ⊆ E，V/ ⊆ V，则称 G/是G的子图。
如果G的子图包含G的所有顶点，即E/ ⊆ E，V/ = V，则称 G/是G的生成子图。
（12）、图G = （V，E），若G ≌ G~，则称图G为自补图。
能构成自补图的必要条件是，其对应的完全图中的边数必为偶数。
二、图的连通性
（1）、若无向图G = （V，E）中每个顶点的度数至少为2，则G包含一条初级回路。
若图中任何两个不同顶点都是连通的，则称G为连通图。
（2）、若图G中任何一对顶点，两者之间是相互可达的，则称为图是强连通图。
若将图看成无向图，图是连通的，则称为弱连通图。
（3）、若图G为连通图，对于任意顶点w，若删除w及w相关联的所有边后，无向图不再连通，则w称为割点。
若图G为连通图，对于任意边e，若删除e，无向图不再连通，则e称为割边，也称为桥。
一、图的表示
（1）、路径矩阵称为可达性矩阵（可达性矩阵表明图中任意两个顶点间是否至少存在一条路以及在任何顶点上是否存在回路）
图G的邻接矩阵A得到可达性矩阵P，即设B = A + A2+···· + An，再从B中将不为零的元素改为1，由此得到可达性矩阵P。
第九章 图的应用
一、欧拉图与哈密顿图
（1）、在连通图G中，经过G中每条边一次且仅一次的通路，称为欧拉通路或欧拉路，若欧拉通路为回路，称为欧拉回路，也称为欧拉图。
（2）、无向连通图G是欧拉图的充分必要条件是G是连通的且无奇点。
（3）、一个欧拉通路的充分必要条件是G是连通的且恰有两个奇点。
（4）、在无向图G，若存在一条路L，经过图中每个顶点一次且一次，则L称为哈密顿路，简称为H—路；若存在一条回路C，经过图中每个顶点一次且一次，则C称为哈密顿回路，简称为H—回路；
哈密顿回路的图称作哈密顿图，简称为H—图。
（5）、判断是否有哈密顿路或者哈密顿回路
设G具有n个顶点的简单图，如果G中每一对顶点度数之和大于等于n—1，则在G中存在一条哈密顿路。
设G具有n个顶点的简单图，如果G中每一对顶点度数之和大于等于n，则在G中存在一条哈密顿回路（哈密顿图）。
（6）、设连通平面图G，面的次数之和等于其边数的两倍。
（7）、一个连通平面图G，共有n个顶点和m条边，其平面表示中共有r个面，则n—m + r = 2。（欧拉公式）
（8）、设G是一个有 v 个顶点m条边的连通简单平面图，若v 》3，则 m < 3v—6 。
（9）、设G是一个有 v 个顶点m条边的连通简单平面图，若v 》3且没有长度为3的回路，则 m《 2v—4 。
二、树及其遍历
（1）、一个连通且无回路的无向图称为树，也称为自由树。
树中不含多重边或环、任何树都是简单图。
树中度数为1的结点：叶结点。
树中度数大于1的结点：分支点。
（2）、给定图T，有n个结点
1、T是树；
2、T无回路，且T的任何两个顶点间有唯一一条路；
3、T无回路，且有n—1条边；
4、T连通的，且有n—1条边；
5、T连通的，但删去任何一条边后便不再连通；
6、T无回路，但增加任何一条边，将得到唯一的一个回路。
（3）、若树中结点个数n 》2，则树中至少含有两个叶节点。
若G中有n个顶点，e条边，w个连通分量，则G为森林的充分必要条件是
e = n— w
（4）、树T的每一个分支结点都是T的割点。
（5）、连通图至少有一颗生成树。
（6）、G的所有生成树中权值最小的生成树称为最小生成树。
T是G的一颗生成树，连通分量的个数为m = | V |
最小生成树的边为 | V | — 1。
（7）、二叉树是指有序树中任何结点的子结点的个数不多于2个，即结点的出度等于0或1或2。
（8）、设有完全m叉树T，其叶结点数为t，分支结点数为i，则（m—1）i = t— 1。