寻找多数元素（主元素）

问题：

有整型数组a[1…n],如果整数x在数组a中出现的次数多于半数，则x称为多数元素。

初级方法：

1. 计算每一个元素出现的次数,算法复杂度O(NlogN)
2. 可以寻找中间值元素，因为多数元素在序列中必为中间值元素，时间复杂度是O(n)

分析此问题：
容易证明引理：在原序列中去除两个不同的元素后，那么在原序列中的多数元素在新序列中还是多数元素。

因此在以上引理的支持下，规模为n的问题就规约为求解规模为n-2的问题，于是我们可以得到一个时间复杂度也是O(n)、但是隐藏常数会比寻找中间值的方法要小的算法。

算法基本思路：

(1)在寻找多数元素的过程中，将计数器初始化为1，遇到相同元素则计数器加1，遇到不同元素则计数器减1，一直到计数器等于0或遍历完整个序列。由此可见，计数器的值表示当前元素抵消掉不同元素后的出现次数；

(2)当计数器在遍历完整个序列前就已经是0，则忽略掉已经遍历过的元素（可以看作两两抵消不影响序列中的多数元素），跳到下一个元素然后计数器重新置1，重复上述步骤，一直到遍历完整个序列；

(3)当遍历完整个序列后，算法会返回一个值，此时我们还需要检测一次这个值是否真的是多数元素，即遍历统计一次。这一步不可或缺。因为上述两个步骤到了遍历完序列后必将返回一个值，无论序列有无多数元素。此值存在两种情况，第一，它真的是多数元素；第二，它只是序列后面的某个元素刚好抵消完序列。所以我们必须检测一次。

算法的实现

寻找候选者算法：

int Candidate(int* A, int m , int n)  
{//寻找A[m...n]中多数元素候选者
     c=A[m];
     count=1;
     for(j=m+1;count>0&&jif(A[j]==c)
           count++;
        else 
           count--;
    }
    if(j==n)
       return c;
    else
       return canditate(j); //对A[j...n]寻找多数元素候选者。
}

寻找数组多数元素的算法

bool Majority(int* A, int n, int* major) {
    c = conditate(A, 0, n-1);
    for (i=0; iif (A[j] == c)
            count++;
    if ( count > n/2 ){
        *major = c;// major即为所求
        return 1;
    }else 
        return  0; //返回0表示不存在多数元素
}