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在我们的程序中,排序是非常常见的一种需求,提供一些数据元素,把这些数据元素按照一定的规则进行排序。比如查询一些订单,按照订单的日期进行排序;再比如查询一些商品,按照商品的价格进行排序等等。所以,接下来我们要学习一些常见的排序算法。
在我们的程序中,排序是非常常见的一种需求,提供一些数据元素,把这些数据元素按照一定的规则进行排序。比如查询一些订单,按照订单的日期进行排序;再比如查询一些商品,按照商品的价格进行排序等等。所以,接下来我们要学习一些常见的排序算法。
冒泡排序(Bubble Sort),是一种计算机科学领域的较简单的排序算法。
需求:
排序前:{4,5,6,3,2,1}
排序后:{1,2,3,4,5,6}
排序原理:
//排序代码
public class Bubble {
/*
对数组a中的元素进行排序
*/
public static void sort(Comparable[] a){
for(int i=a.length-1;i>0;i--){
for (int j = 0; j <i; j++) {
if (greater(a[j],a[j+1])){
exch(a,j,j+1);
}
}
}
}
/*
比较v元素是否大于w元素
*/
private static boolean greater(Comparable v,Comparable w){
return v.compareTo(w)>0;
}
/*
数组元素i和j交换位置
*/
private static void exch(Comparable[] a,int i,int j){
Comparable t = a[i];
a[i]=a[j];
a[j]=t;
}
}
//测试代码
public class Test {
public static void main(String[] args) {
Integer[] a = {4, 5, 6, 3, 2, 1};
Bubble.sort(a);
System.out.println(Arrays.toString(a));
}
}
冒泡排序的时间复杂度分析:
冒泡排序使用了双层for循环,其中内层循环的循环体是真正完成排序的代码.
在最坏情况下,也就是假如要排序的元素为{6,5,4,3,2,1}逆序,那么:
元素比较的次数为:
(N-1)+(N-2)+(N-3)+…+2+1=((N-1)+1)(N-1)/2=N^2/2-N/2;
元素交换的次数为:
(N-1)+(N-2)+(N-3)+…+2+1=((N-1)+1)(N-1)/2=N^2/2-N/2;
总执行次数为:
(N2/2-N/2)+(N2/2-N/2)=N^2-N;
按照大O推导法则,保留函数中的最高阶项那么最终冒泡排序的时间复杂度为O(N^2).
注意: 生产中不要用冒泡,效率太低
选择排序是一种更加简单直观的排序方法。
需求:
排序前:{4,6,8,7,9,2,10,1}
排序后:{1,2,4,5,7,8,9,10}
排序原理:
public class Selection {
/*
对数组a中的元素进行排序
*/
public static void sort(Comparable[] a){
for (int i=0;i<=a.length-2;i++){
//假定本次遍历,最小值所在的索引是i
int minIndex=i;
for (int j=i+1;j<a.length;j++){
if (greater(a[minIndex],a[j])){
//跟换最小值所在的索引
minIndex=j;
}
}
//交换i索引处和minIndex索引处的值
exch(a,i,minIndex);
}
}
/*
比较v元素是否大于w元素
*/
private static boolean greater(Comparable v,Comparable w){
return v.compareTo(w)>0;
}
/*
数组元素i和j交换位置
*/
private static void exch(Comparable[] a,int i,int j){
Comparable t = a[i];
a[i]=a[j];
a[j]=t;
}
}
//测试代码
public class Test {
public static void main(String[] args) {
Integer[] a = {4,6,8,7,9,2,10,1};
Selection.sort(a);
System.out.println(Arrays.toString(a));
}
}
选择排序的时间复杂度分析:
选择排序使用了双层for循环,其中外层循环完成了数据交换,内层循环完成了数据比较,所以我们分别统计数据。
交换次数和数据比较次数:
数据比较次数:
(N-1)+(N-2)+(N-3)+…+2+1=((N-1)+1)*(N-1)/2=N^2/2-N/2;
数据交换次数:
N-1
时间复杂度:N2/2-N/2+(N-1)=N2/2+N/2-1;
根据大O推导法则,保留最高阶项,去除常数因子,时间复杂度为O(N^2);
注: 这样看的话冒泡和选择是不是很像啊,那他们有什么区别呢?
区别在于:在交换的方式上
(1)冒泡排序是比较相邻位置的两个数,而选择排序是按顺序比较,找最大值或者最小值;
(2)冒泡排序每一轮比较后,位置不对都需要换位置,选择排序每一轮比较都只需要换一次位置;
(3)冒泡排序是通过数去找位置,选择排序是给定位置去找数;
(4)冒泡比较简单,空间复杂度较低,是稳定的,但时间复杂度大;选择排序一轮比较只需要换一次位置,但效率慢,不稳定。
插入排序(Insertion sort)是一种简单直观且稳定的排序算法。
插入排序的工作方式非常像人们排序一手扑克牌一样。开始时,我们的左手为空并且桌子上的牌面朝下。然后,我们每次从桌子上拿走一张牌并将它插入左手中正确的位置。为了找到一张牌的正确位置,我们从右到左将它与已在手中的每张牌进行比较,如下图所示:
需求:
排序前:{4,3,2,10,12,1,5,6}
排序后:{1,2,3,4,5,6,10,12}
排序原理:
public class Insertion {
/*
对数组a中的元素进行排序
*/
public static void sort(Comparable[] a){
for (int i=1;i<a.length;i++){
//当前元素为a[i],依次和i前面的元素比较,找到一个小于等于a[i]的元素
for (int j=i;j>0;j--){
if (greater(a[j-1],a[j])){
//交换元素
exch(a,j-1,j);
}else {
//找到了该元素,结束
break;
}
}
}
}
/*
比较v元素是否大于w元素
*/
private static boolean greater(Comparable v,Comparable w){
return v.compareTo(w)>0;
}
/*
数组元素i和j交换位置
*/
private static void exch(Comparable[] a,int i,int j){
Comparable t = a[i];
a[i]=a[j];
a[j]=t;
}
}
插入排序的时间复杂度分析
插入排序使用了双层for循环,其中内层循环的循环体是真正完成排序的代码,所以,我们分析插入排序的时间复杂度,主要分析一下内层循环体的执行次数即可。
最坏情况,也就是待排序的数组元素为{12,10,6,5,4,3,2,1},那么:
比较的次数为:
(N-1)+(N-2)+(N-3)+…+2+1=((N-1)+1)*(N-1)/2=N^2/2-N/2;
交换的次数为:
(N-1)+(N-2)+(N-3)+…+2+1=((N-1)+1)*(N-1)/2=N^2/2-N/2;
总执行次数为:
(N2/2-N/2)+(N2/2-N/2)=N^2-N;
按照大O推导法则,保留函数中的最高阶项那么最终插入排序的时间复杂度为O(N^2).
之前我们学习过基础排序,包括冒泡排序,选择排序还有插入排序,并且对他们在最坏情况下的时间复杂度做了分析,发现都是O(N^2),而平方阶通过我们之前学习算法分析我们知道,随着输入规模的增大,时间成本将急剧上升,所以这些基本排序方法不能处理更大规模的问题,接下来我们学习一些高级的排序算法,争取降低算法的时间复杂度最高阶次幂。
希尔排序是插入排序的一种,又称“缩小增量排序”,是插入排序算法的一种更高效的改进版本。
需求:
排序前:{9,1,2,5,7,4,8,6,3,5}
排序后:{1,2,3,4,5,5,6,7,8,9}
排序原理:
//排序代码
public class Shell {
/*
对数组a中的元素进行排序
*/
public static void sort(Comparable[] a){
int N = a.length;
//确定增长量h的最大值
int h=1;
while(h<N/2){
h=h*2+1;
}
//当增长量h小于1,排序结束
while(h>=1){
//找到待插入的元素
for (int i=h;i<N;i++){
//a[i]就是待插入的元素
//把a[i]插入到a[i-h],a[i-2h],a[i-3h]...序列中
for (int j=i;j>=h;j-=h){
//a[j]就是待插入元素,依次和a[j-h],a[j-2h],a[j-3h]进行比较,如果a[j]小,那么交换位置,如果不小于,a[j]大,则插入完成。
if (greater(a[j-h],a[j])){
exch(a,j,j-h);
}else{
break;
}
}
}
h/=2;
}
}
/*
比较v元素是否大于w元素
*/
private static boolean greater(Comparable v,Comparable w){
return v.compareTo(w)>0;
}
/*
数组元素i和j交换位置
*/
private static void exch(Comparable[] a,int i,int j){
Comparable t = a[i];
a[i]=a[j];
a[j]=t;
}
}
//测试代码
public class Test {
public static void main(String[] args) {
Integer[] a = {9,1,2,5,7,4,8,6,3,5} ;
Shell.sort(a);
System.out.println(Arrays.toString(a));
}
}
希尔排序的时间复杂度分析
希尔排序中对于增量序列的选择十分重要,直接影响到希尔排序的性能。我们上面选择的增量序列{n/2,(n/2)/2…1}(希尔增量),其最坏时间复杂度依然为O(n2),一些经过优化的增量序列如Hibbard经过复杂证明可使得最坏时间复杂度为O(n3/2)。
正式学习归并排序之前,我们得先学习一下递归算法。
定义:
定义方法时,在方法内部调用方法本身,称之为递归。
public void show(){
System.out.println("aaaa");
show();
}
作用:
它通常把一个大型复杂的问题,层层转换为一个与原问题相似的,规模较小的问题来求解。递归策略只需要少量的
程序就可以描述出解题过程所需要的多次重复计算,大大地减少了程序的代码量。
注意事项:
在递归中,不能无限制的调用自己,必须要有边界条件,能够让递归结束,因为每一次递归调用都会在栈内存开辟
新的空间,重新执行方法,如果递归的层级太深,很容易造成栈内存溢出。
需求:
请定义一个方法,使用递归完成求N的阶乘;
分析:
1!: 1
2!: 2*1=2*1!
3!: 3*2*1=3*2!
4!: 4*3*2*1=4*3!
...
n!: n*(n-1)*(n-2)...*2*1=n*(n-1)!
所以,假设有一个方法factorial(n)用来求n的阶乘,那么n的阶乘还可以表示为n*factorial(n-1)
代码实现:
public class Test {
public static void main(String[] args) throws Exception {
int result = factorial(5);
System.out.println(result);
}
public static int factorial(int n){
if (n==1){
return 1;
}
return n*factorial(n-1);
}
}
归并排序是建立在归并操作上的一种有效的排序算法,该算法是采用分治法的一个非常典型的应用。将已有序的子
序列合并,得到完全有序的序列;即先使每个子序列有序,再使子序列段间有序。若将两个有序表合并成一个有序
表,称为二路归并。
需求:
排序前:{8,4,5,7,1,3,6,2}
排序后:{1,2,3,4,5,6,7,8}
排序原理:
//排序代码
public class Merge {
private static Comparable[] assist;//归并所需要的辅助数组
/*
对数组a中的元素进行排序
*/
public static void sort(Comparable[] a) {
assist = new Comparable[a.length];
int lo = 0;
int hi = a.length-1;
sort(a, lo, hi);
}
/*
对数组a中从lo到hi的元素进行排序
*/
private static void sort(Comparable[] a, int lo, int hi) {
if (hi <= lo) {
return;
}
int mid = lo + (hi - lo) / 2;
//对lo到mid之间的元素进行排序;
sort(a, lo, mid);
//对mid+1到hi之间的元素进行排序;
sort(a, mid+1, hi);
//对lo到mid这组数据和mid到hi这组数据进行归并
merge(a, lo, mid, hi);
}
/*
对数组中,从lo到mid为一组,从mid+1到hi为一组,对这两组数据进行归并
*/
private static void merge(Comparable[] a, int lo, int mid, int hi) {
//lo到mid这组数据和mid+1到hi这组数据归并到辅助数组assist对应的索引处
int i = lo;//定义一个指针,指向assist数组中开始填充数据的索引
int p1 = lo;//定义一个指针,指向第一组数据的第一个元素
int p2 = mid + 1;//定义一个指针,指向第二组数据的第一个元素
//比较左边小组和右边小组中的元素大小,哪个小,就把哪个数据填充到assist数组中
while (p1 <= mid && p2 <= hi) {
if (less(a[p1], a[p2])) {
assist[i++] = a[p1++];
} else {
assist[i++] = a[p2++];
}
}
//上面的循环结束后,如果退出循环的条件是p1<=mid,则证明左边小组中的数据已经归并完毕,如果退
出循环的条件是p2<=hi,则证明右边小组的数据已经填充完毕;
//所以需要把未填充完毕的数据继续填充到assist中,//下面两个循环,只会执行其中的一个
while(p1<=mid){
assist[i++]=a[p1++];
}
while(p2<=hi){
assist[i++]=a[p2++];
}
//到现在为止,assist数组中,从lo到hi的元素是有序的,再把数据拷贝到a数组中对应的索引处
for (int index=lo;index<=hi;index++){
a[index]=assist[index];
}
}
/*
比较v元素是否小于w元素
*/
private static boolean less(Comparable v, Comparable w) {
return v.compareTo(w) < 0;
}
/*
数组元素i和j交换位置
*/
private static void exch(Comparable[] a, int i, int j) {
Comparable t = a[i];
a[i] = a[j];
a[j] = t;
}
}
//测试代码
public class Test {
public static void main(String[] args) throws Exception {
Integer[] arr = {8, 4, 5, 7, 1, 3, 6, 2};
Merge.sort(arr);
System.out.println(Arrays.toString(arr));
}
}
归并排序时间复杂度分析:
用树状图来描述归并,如果一个数组有8个元素,那么它将每次除以2找最小的子数组,共拆log8次,值为3,所以
树共有3层,那么自顶向下第k层有2k个子数组,每个数组的长度为2(3-k),归并最多需要2^(3-k)次比较。因此每层
的比较次数为 2^k * 2(3-k)=23,那么3层总共为 3*2^3。
假设元素的个数为n,那么使用归并排序拆分的次数为log2(n),所以共log2(n)层,那么使用log2(n)替换上面32^3中
的3这个层数,最终得出的归并排序的时间复杂度为:log2(n) 2^(log2(n))=log2(n)*n,根据大O推导法则,忽略底
数,最终归并排序的时间复杂度为O(nlogn);
归并排序的缺点:
需要申请额外的数组空间,导致空间复杂度提升,是典型的以空间换时间的操作。
快速排序是对冒泡排序的一种改进。它的基本思想是:通过一趟排序将要排序的数据分割成独立的两部分,其中一
部分的所有数据都比另外一部分的所有数据都要小,然后再按此方法对这两部分数据分别进行快速排序,整个排序
过程可以递归进行,以此达到整个数据变成有序序列。
需求:
排序前:{6, 1, 2, 7, 9, 3, 4, 5, 8}
排序后:{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
排序原理:
切分原理:
把一个数组切分成两个子数组的基本思想:
//排序代码
public class Quick {
public static void sort(Comparable[] a) {
int lo = 0;
int hi = a.length - 1;
sort(a, lo, hi);
}
private static void sort(Comparable[] a, int lo, int hi) {
if (hi <= lo) {
return;
}
//对a数组中,从lo到hi的元素进行切分
int partition = partition(a, lo, hi);
//对左边分组中的元素进行排序
//对右边分组中的元素进行排序
sort(a, lo, partition - 1);
sort(a, partition + 1, hi);
}
public static int partition(Comparable[] a, int lo, int hi) {
Comparable key = a[lo];//把最左边的元素当做基准值
int left = lo;//定义一个左侧指针,初始指向最左边的元素
int right = hi + 1;//定义一个右侧指针,初始指向左右侧的元素下一个位置
//进行切分
while (true) {
//先从右往左扫描,找到一个比基准值小的元素
while (less(key, a[--right])) {//循环停止,证明找到了一个比基准值小的元素
if (right == lo) {
break;//已经扫描到最左边了,无需继续扫描
}
}
//再从左往右扫描,找一个比基准值大的元素
while (less(a[++left], key)) {//循环停止,证明找到了一个比基准值大的元素
if (left == hi) {
break;//已经扫描到了最右边了,无需继续扫描
}
}
if (left >= right) {
//扫描完了所有元素,结束循环
break;
} else {
//交换left和right索引处的元素
exch(a, left, right);
}
}
//交换最后rigth索引处和基准值所在的索引处的值
exch(a, lo, right);
return right;//right就是切分的界限
}
/*
数组元素i和j交换位置
*/
private static void exch(Comparable[] a, int i, int j) {
Comparable t = a[i];
a[i] = a[j];
a[j] = t;
}
/*
比较v元素是否小于w元素
*/
private static boolean less(Comparable v, Comparable w) {
return v.compareTo(w) < 0;
}
}
//测试代码
public class Test {
public static void main(String[] args) throws Exception {
Integer[] arr = { 6, 1, 2, 7, 9, 3, 4, 5, 8 };
Quick.sort(arr);
System.out.println(Arrays.toString(arr));
}
}
快速排序和归并排序的区别:
快速排序是另外一种分治的排序算法,它将一个数组分成两个子数组,将两部分独立的排序。快速排序和归并排序
是互补的:归并排序将数组分成两个子数组分别排序,并将有序的子数组归并从而将整个数组排序,而快速排序的
方式则是当两个数组都有序时,整个数组自然就有序了。在归并排序中,一个数组被等分为两半,归并调用发生在
处理整个数组之前,在快速排序中,切分数组的位置取决于数组的内容,递归调用发生在处理整个数组之后。
快速排序时间复杂度分析:
快速排序的一次切分从两头开始交替搜索,直到left和right重合,因此,一次切分算法的时间复杂度为O(n),但整个
快速排序的时间复杂度和切分的次数相关。
如果我们把数组的切分看做是一个树,那么上图就是它的最优情况的图示,共切分了logn次,所以,最优情况下快
速排序的时间复杂度为O(nlogn);
最坏情况: 每一次切分选择的基准数字是当前序列中最大数或者最小数,这使得每次切分都会有一个子组,那么总
共就得切分n次,所以,最坏情况下,快速排序的时间复杂度为O(n^2);
稳定性的定义:
数组arr中有若干元素,其中A元素和B元素相等,并且A元素在B元素前面,如果使用某种排序算法排序后,能够保
证A元素依然在B元素的前面,可以说这个该算法是稳定的。
稳定性的意义:
如果一组数据只需要一次排序,则稳定性一般是没有意义的,如果一组数据需要多次排序,稳定性是有意义的。例
如要排序的内容是一组商品对象,第一次排序按照价格由低到高排序,第二次排序按照销量由高到低排序,如果第
二次排序使用稳定性算法,就可以使得相同销量的对象依旧保持着价格高低的顺序展现,只有销量不同的对象才需
要重新排序。这样既可以保持第一次排序的原有意义,而且可以减少系统开销。
常见排序算法的稳定性: