火车出站题解+卡特兰数用法小结

从出栈可能性了解到了卡特兰数，粗劣的做一下小结。时间超限，数组越界什么的总是很烦恼，继续噶油。

第二次修改，增加了判断出栈序列是否正确的分析。

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大佬总结的很详细，前面一部分是转过来的。[https://www.cnblogs.com/SovietPower/p/7202443.html]

一.公式

卡特兰数一般公式

令h(0)=1,h(1)=1，catalan数满足递推式。h(n) = h(0)h(n-1)+h(1)h(n-2) + ... + h(n-1)h(0) (n>=2)。也就是说，如果能把公式化成上面这种形式的数，就是卡特兰数。

组合公式

　　Cn = C(2n,n) / (n+1)

(化简前 **h(n) = c(2n,n)-c(2n,n+1) (n=0,1,2,...) 证明

递归公式1

　　h(n) = h(n-1)(4n-2) / (n+1)**

递归公式2

　　h(n) = ∑(i=0 to n-1) h(i)h(n-i-1)*

二.应用

• 二叉树的计数等，这个有时间整理吧

三、例题改错

题目描述：

铁路进行列车调度时，常把站台设计成栈式结构的站台，试问：
设有编号为1到n的n辆列车，顺序开入栈式结构的站台，则可能的出栈序列有多少种？

输入:

输入包含多组测试数据。每组为一个正整数n（1<=n<=20），表示有n辆列车。

输出:

输出可能的出栈序列有多少种。

原解：

# include 
using namespace std;

int times(int n)
{
int i=0;
long long sum=0;
if(n==1||n==0) return 1;
else if(n==2) return 2;
else  
{   
     while(i>n)
{
cout<

这个使用递推公式2，一层一层往前递推回去再一层一层回来，造成程序比较复杂，在处理n=20的时候就溢出了。

改进后：

# include 
using namespace std;

int main()
{
    long long int ca[20]; ca[0]=1;
    for(int i=1;i<=20;i++)
    {
        ca[i]=ca[i-1]*(4*i-2)/(i+1);
    }
    int n;
    while(cin>>n)
    {
        cout<

优化后的算法为从0开始，使用递推公式1，这样简化了许多！

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一、例题分析

题目

火车编号为：1~9，且不重复。如：编号分别为“1”、“2”、“3”、“4”、“5”的5个火车顺序进站，那么进站序列为“12345”，全部进站后再顺序出站，则出站序列为“54321”，如果先进1,2，然后2出站，然后1出站，然后再3进站、出站，4进站、出站，5进站、出站，那么出站序列就为21345.

输入

int maxNum：进站的火车最大编号
char* pOutSeq：使用字符串表示火车出站序列

输出参数（指针指向的内存区域保证有效）：

无。

返回值：

Int: 根据输入的进站序列判断，如果输入的出站序列是可能的，返回1，否则返回0；

分析：
由于进栈的顺序是由小到大的，所以出栈序列应该满足以下条件：对于序列中的任何一个数其后面所有比它小的数应该是倒序的

代码

#include 
#include 
#include 
using namespace std;

int JudgeTrainSequence (int maxNum, char *pOutSeq){
    if(pOutSeq == NULL || maxNum <= 0){
        return 0;
    }
    int size = strlen(pOutSeq);
    stack trainSeq;
    
    int index = 1;  //index用来标记推进去几个 
    for(int i = 0;i < size;){
        if(trainSeq.empty() || trainSeq.top() < pOutSeq[i] - '0'){
            trainSeq.push(index);  //如果不符合出栈顺序，那么一定存在某个数其后面所有比它小的数不是倒序的 ,index最终一定会大于len 
            ++index;
        }
        else{
            trainSeq.pop();
            ++i;
        }
    }
    if(!trainSeq.empty()){
        return 0;
    }
    return 1;
}

int main()
{
    char s[3];
    while(cin>>s)
    {
        cout<