【机器人学】刚体的惯性张量及其物理意义

一、刚体的惯性张量
在单自由度系统中，常常要考虑刚体的质量。对于定轴转动的情况，经常用到惯量矩这个概念。对一个可以在三维空间自由运动的刚体来说，可能存在无穷个旋转轴。在一个刚体绕任意轴做旋转运动时，我们需要一种能够表征刚体质量分布的方法。在这里，我们需要引入惯性张量，它可以被看做是对一个物体惯量的广义度量。

现在我们定义一组参量，给出刚体质量在参考坐标系中分布的信息。下图表示一个刚体，坐标系建立在刚体上。惯性张量可以在任何坐标系中定义，但一般在固连于刚体上的坐标系中定义惯性张量。

坐标系{A}中的惯性张量可用3*3矩阵表示如下：
$${}^A\text{I}=\left[\begin{array}{ccc}{I}_{xx}& -I_{xy}& -I_{xz}\\ -I_{xy}& I_{yy}& -I_{yz}\\ -I_{xz}& -I_{yz}& I_{zz}\end{array}\right]$$
矩阵中各元素为：
$I_{xx}=\int \int {\int }_V(y^2+z^2)\rho dv$
$I_{yy}=\int \int {\int }_V(x^2+z^2)\rho dv$
$I_{zz}=\int \int {\int }_V(x^2+y^2)\rho dv$
$I_{xy}=\int \int {\int }_V(xy)\rho dv$
$I_{xz}=\int \int {\int }_V(xz)\rho dv$
$I_{yz}=\int \int {\int }_V(yz)\rho dv$
式中刚体由单元体$dv$组成，单元体密度为$\rho$，每个单元体的位置由矢量${}^A\text{P}={\left[\begin{array}{ccc}x& y& z\end{array}\right]}^T$确定。
二、惯性张量的物理意义
当刚体绕定点转动时，刚体的动量矩为：
$$L=\sum m_i{r}_i\times (w\times r_i)$$
将上式展开写成矩阵的形式是：
$$\left[\begin{array}{c}{L}_x\\ L_y\\ L_z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}\sum m_i(y_i^2+z_i^2)& -\sum m_i{x}_i{y}_i& -\sum m_i{x}_i{z}_i\\ -\sum m_i{x}_i{y}_i& \sum m_i(x_i^2+z_i^2)& -\sum m_i{y}_i{z}_i\\ -\sum m_i{x}_i{z}_i& -\sum m_i{y}_i{z}_i& \sum m_i(x_i^2+y_i^2)\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{w}_x\\ w_y\\ w_z\end{array}\right]$$
右侧3×3矩阵中的求和形式与第一部分中的积分形式是等价的。$L_i$表示刚体绕定点旋转时对每个分坐标轴的动量矩。

参考文献：
John Craig 《机器人学导论》 机械工业出版社 2006
洪国维 《惯性张量的物理意义》