浮点数基础

浮点数基础

浮点数，是属于有理数中某特定子集的数的数字表示，在计算机中用以近似表示任意某个实数。具体的说，这个实数由一个整数或定点数（即尾数）乘以某个基数（计算机中通常是2）的整数次幂得到，这种表示方法类似于基数为10的科学计数法。

1 浮点数基础知识

浮点数由四部分构成：符号位（Sign Bit）、尾数（Mantissa）、基数（Radix）和指数（Exponent）。根据《IEEE Standard 754 for Binary Floating-Point Arithmetic》的定义–二进制标准浮点数，基数为2。s、m、e分别为符号数、尾数和指数，n为相应的浮点数值。

IEEE-754规定了三种浮点数：单精度（float）、双精度（double）和扩展精度。
其中单精度为32bit,其中包含1位符号位S,8位指数位E和23位尾数位M。S、E、M为相应的二进制序列。

S:
正数 0.1xxxxxx
负数 1.1xxxxxx
M:
表示小数点之后的二进制尾数。
M为0110表示：二进制.0110
E：
规格化（normalized）
非规格化（denormalized）

2 规格化浮点数

E表示的二进制不全为0也不全为1时该浮点数为规格化浮点数。

e表示偏置（Biased）
|E|表示E的二进制整数
bias表示偏置
k为指数位宽
对于单精度浮点数来说k为8,所以bias为127。E="10001000"为例，|E|=136,故e为9。
对于规格化浮点数，标准规定尾数位小数点左侧的隐含位为1，所以：
m = |1.M|
例如M="10010…0"则1.M="1.10010…0"所以m=1.5625

s=0
m = 1.5625
e =9
n =55.5112
单精度浮点数的公式可表示为：

3非规格化浮点数

E的二进制位全为0时该浮点数为非规格化浮点数。
bias=127

单精度非规格化浮点数公式：

-0.0 符号位为1，其余位为0.
+0.0全部为0.

4特殊数值

E的二进制位全为1时为特殊数值。
M全0，n无穷大
M全1，S为1，n负无穷大
M全1，S为0，n正无穷大
M不全为0和1，n NaN（Not a Number）

5 双精度浮点数

IEEE-754定义双精度浮点数共64bit 。1位符号位S，11位指数位E和52位尾数位M。同样可以划分为规格化、非规格化和特殊数值。