【题解】 [SCOI2012]滑雪

题目

题目描述

a180285 非常喜欢滑雪。他来到一座雪山，这里分布着 $m$ 条供滑行的轨道和 $n$ 个轨道之间的交点（同时也是景点），而且每个景点都有一编号 $i(1\le i\le n)$和一高度$h_i$。

a180285 能从景点 $i$ 滑到景点 $j$ 当且仅当存在一条 $i$ 和 $j$ 之间的边，且 $i$ 的高度不小于 $j$。与其他滑雪爱好者不同，a180285 喜欢用最短的滑行路径去访问尽量多的景点。如果仅仅访问一条路径上的景点，他会觉得数量太少。

于是 a180285 拿出了他随身携带的时间胶囊。这是一种很神奇的药物，吃下之后可以立即回到上个经过的景点（不用移动也不被认为是 a180285 滑行的距离）。

请注意，这种神奇的药物是可以连续食用的，即能够回到较长时间之前到过的景点（比如上上个经过的景点和上上上个经过的景点）。 现在，a180285站在 $1$ 号景点望着山下的目标，心潮澎湃。他十分想知道在不考虑时间胶囊消耗的情况下，以最短滑行距离滑到尽量多的景点的方案（即满足经过景点数最大的前提下使得滑行总距离最小）。你能帮他求出最短距离和景点数吗？

输入格式

输入的第一行是两个整数 $n,m$。 接下来一行有 $n$ 个整数 $h_i$ ，分别表示每个景点的高度。
接下来 $m$ 行，表示各个景点之间轨道分布的情况。每行三个整数 $u,v,k$，表示编号为 $u$ 的景点和编号为 $v$ 的景点之间有一条长度为 $k$ 的轨道。

输出格式

输出一行，表示 a180285 最多能到达多少个景点，以及此时最短的滑行距离总和。

输入输出样例

输入 #1

3 3 
3 2 1 
1 2 1 
2 3 1 
1 3 10

输出 #1复制

3 2

说明/提示

【数据范围】

对于 $30\%$ 的数据，$1\le n\le 2000$；
对于 $100\%$ 的数据，$1\le n\le 10^5$
对于所有的数据，保证 $1\le m\le 10^6$ , $1\le h_i\le 10^9$，$1\le k_i\le 10^9$。

题解

整理题目

可以发现，整个景区可以抽象为一张图（明显废话），景点的高度为点权，景点间的距离为边权，所以这个长的像坨shit的题面就被我们翻译成了一句话：在只能从点权大的点到点权小的点（可以相等）的情况下，从1点出发建立一棵尽可能有更多点的最小生成树

思路

考虑顺序

在这种多条件题目中，我们有一个优先考虑顺序（反正我是这样的啦），即先考虑是否可行，再考虑最优，比如这道题，我们就先考虑一些硬性的规定：只能从高滑到低，再考虑景点多、距离小这样的条件

1.只能从高到低

如果给你一张无向图，它已经满足每个景点都可以从1号景点按要求到达，那是不是这个点就解决了？那必须的呀，我们想要的就是这样一张图呀！所以现在考虑造出这样一张图。想想我们知道什么，只有每个景点的高度及每两个景点的连通性（距离我们暂时不需要），这就够了！对于每一条边，我们规定它的方向为从高的连向低的，让后从1号景点开始跑一遍BFS/DFS，所有能跑到的点以及经过的边组成一张新图，这张新图就是前面说的满足要求的图了

代码：

//tmp为记录能到的点数（题目要问）
//vis为记录是否以及遍历过这个点，防止不断递归
//g为原图
//g_new为新图
void dfs(int i){
	if(vis[i])return;
	tmp++;
	vis[i]=true;
	for(int j=0;j<g[i].size();j++){
		g_new[++cnt].u=i;
		g_new[cnt].v=g[i][j].u;
		g_new[cnt].w=g[i][j].w;
		dfs(g[i][j].u);
	}
	return;
}

2.到的景点最多、总距离最短

要让到的景点最多，肯定是能到的点都要到，也就是说，我们在刚才DFS遍历的时候就应该存储一下能到的点的个数，直接输出。

这就完了？开始考虑总距离最短？错！能到的点一定可以到没问题，但是不能光考虑总距离，如果光考虑总距离最小，就有可能出现反着爬坡的情况（因为最小生成树是不会考虑边的方向的），那怎么办？

在对边排序的时候，按终点的高度从大到小进行排序，这样就能从高到低下来了

还有个总距离最短的条件，这个简单，在高度的基础上，以边权为第二关键字，从小到大排即可

代码

bool cmp(edge x,edge y){
	if(hi[x.v]!=hi[y.v]){
		return hi[x.v]>hi[y.v];
	}
	return x.w<y.w;
}

最后就是计算最小生成树了，直接用模板即可，代码就不单独放了，免得又被你们说是凑字数

坑点

代码打好了，愉快的交上去，错了！什么鬼，是我写错了？请注意，这道题坑点有亿点点多

1. 每条边的最大值是$10^9$,而最多有$10^6$条边，嗯。。。爆int稳稳的，该怎么改我不说了吧，高精啊！，long long啊！
2. 相同高度是可以到达的，所以在建立原图的时候，如果两的点高度相同，需要建立两条边互相连接，这样后面DFS/BFS遍历的时候才不会错
3. 都建立了两条边，边数量的最大值不改改？肯定要两倍快乐呀，不然RE稳稳的

最后就是代码

我知道你们只喜欢这个

#include
#include
#include
#include
using namespace std;
const int MAXN=100005;
const int MAXM=2000005;
struct node{
	int u;
	int w;
	node(){}
	node(int U,int W){
		u=U;
		w=W;
	}
};
struct edge{
	int u,v;
	int w;
}g_new[MAXM];
int hi[MAXN];
vector<node> g[MAXN];
bool vis[MAXN];
int cnt=0;
int tmp=0;
void dfs(int i){
	if(vis[i])return;
	tmp++;
	vis[i]=true;
	for(int j=0;j<g[i].size();j++){
		g_new[++cnt].u=i;
		g_new[cnt].v=g[i][j].u;
		g_new[cnt].w=g[i][j].w;
		dfs(g[i][j].u);
	}
	return;
}
int fa[MAXN];
int get(int x){
	if(fa[x]==x){
		return x;
	}
	return fa[x]=get(fa[x]);
}
bool cmp(edge x,edge y){
	if(hi[x.v]!=hi[y.v]){
		return hi[x.v]>hi[y.v];
	}
	return x.w<y.w;
}
long long kruskal(int m){
    long long sum=0;
    sort(g_new+1,g_new+1+m,cmp);
//	for(int i=1;i<=m;i++){
//		printf("%d %d %d\n",g_new[i].u,g_new[i].v,g_new[i].w);
//	}
    for(int i=1;i<=m;i++){
        int fu=get(g_new[i].u);
        int fv=get(g_new[i].v);
        if(fu!=fv){
            fa[fv]=fu;
            sum+=g_new[i].w;
        }
    }
    return sum;
}
int main(){
	int n,m;
	scanf("%d %d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		scanf("%d",&hi[i]);
	}
	int u,v,w;
	for(int i=1;i<=m;i++){
		scanf("%d %d %d",&u,&v,&w);
		if(hi[u]<hi[v]){
			swap(u,v);
		}
		g[u].push_back(node(v,w));
		if(hi[u]==hi[v]){
			g[v].push_back(node(u,w));
		}
	}
	dfs(1);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		fa[i]=i;
	}
	printf("%d %lld",tmp,kruskal(cnt));
return 0;
}

如果我的题解对你有帮助，帮我把下面那个惨白的竖着大拇指的手点红呗