P3951,jzoj5473-小凯的疑惑【数论】(NOIP2017提高组)

正题

评测记录：
https://www.luogu.org/recordnew/show/8283818

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大意

两个币值（互质正整数），求不能完全（需要找零）的最贵的东西。

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解题思路

首先众所周知ax+by=c而且a和b互质的正整数，c为正整数那么x和y一点有整数解
证明：

证明：因为x0，y0是方程①的整数解，当然满足ax0+by0=c，②
因此a（x0-bt）+b（y0+at）=ax0+by0=c．
这表明x=x0-bt，y=y0+at也是方程①的解．
设x′，y′是方程①的任一整数解，则有
ax′+by′=c．③
③-②得
a（x′-x0）=b′（y0-y′）．④
∵a，b是互质的正整数即（a，b）=1，
∴即y′=y0+at，其中t是整数．将y′=y0+at代入④，即得x′=x0-bt．
∴x′，y′可以表示成x=x0-bt，y=y0+at的形式，
∴x=x0-bt，y=y0+at表示方程①的一切整数解．

这道题可以求的就是
ax+by≠max{k}(0⩽x,y) a x + b y ≠ m a x { k } ( 0 ⩽ x , y )
所以我们就是要求 x<0   or   y<0 x < 0       o r       y < 0 使 ax+by a x + b y 最大
那么我们假设 a>b a > b
那么 x=−1 x = − 1 时 ax+by a x + b y 最大
此时 ax−b a x − b ，而此时 x x 取最大值使整个式子最大
最后最大值是 (b−1)a−b ( b − 1 ) a − b ,因为当 x=b x = b 时可以合并同类项变为 (a−1)b ( a − 1 ) b 就可以进行表示了
然后 (b−1)a−b=ab−a−b ( b − 1 ) a − b = a b − a − b 。
然后如果 b>a b > a 推的话是一样的结果

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代码

#include
using namespace std;
long long a,b;
int main()
{
    scanf("%lld%lld",&a,&b);
    printf("%lld",a*b-a-b);
}