Luogu 2868 [USACO07DEC]观光奶牛Sightseeing Cows

01分数规划复习。

这东西有一个名字叫做最优比率环。

首先这个答案具有单调性，我们考虑如何检验。

设$\frac{\sum_{i = 1}^{n}F_i}{\sum_{i = 1}^{n}T_i} = e$，我们需要检验的就是$\sum_{i = 1}^{n}(F_i - mid * T_i) \geq 0$是否存在。

感觉这玩意不好算，再变形一下：$\sum_{i = 1}^{n}(e * T_i - F_i) < 0$，就变成一个负环的检验了。

$F_i$应当可以任取一条有向边的入点和出点。

注意二分时的边界问题。

时间复杂度$O(logn (spfa???))$。

Code:

#include 
#include 
using namespace std;
typedef long double db;

const int N = 1005;
const int M = 5005;
const db inf = 1e10;
const db eps = 1e-6;

int n, m, tot = 0, head[N];
db dis[N], a[N];
bool vis[N], ex;

struct Edge {
    int to, nxt;
    db val;
} e[M];

inline void add(int from, int to, db val) {
    e[++tot].to = to;
    e[tot].val = val;
    e[tot].nxt = head[from];
    head[from] = tot;
}

template 
inline void chkMax(T &x, T y) {
    if(y > x) x = y;
}

template 
inline void chkMin(T &x, T y) {
    if(y < x) x = y;
}

void dfs(int x, db mid) {
    if(ex) return;
    vis[x] = 1;
    for(int i = head[x]; i; i = e[i].nxt) {
        int y = e[i].to;
        if(dis[y] > dis[x] + mid * e[i].val - a[y]) {
            dis[y] = dis[x] + mid * e[i].val - a[y];
            if(vis[y]) {
                ex = 1;
                return;
            }
            dfs(y, mid);
        }
    }
    vis[x] = 0;
}

inline bool chk(db mid) {
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        dis[i] = 0.0;
        vis[i] = 0;
    }
    ex = 0;
    
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        dfs(i, mid);
        if(ex) break;
    }
    
    return ex;
}

int main() {
    scanf("%d%d", &n, &m);
    db ln = 0.0, rn = 0.0, mid, res;
    for(int i = 1; i <= n; i++) scanf("%Lf", &a[i]);
    for(int i = 1; i <= m; i++) {
        int x, y; db v;
        scanf("%d%d%Lf", &x, &y, &v);
        add(x, y, v);
        rn += v;
    }
    
    for(; ln + eps <= rn; ) {
        mid = (ln + rn) * 0.5;
        if(chk(mid)) ln = mid, res = mid;
        else rn = mid;
    }
    
    printf("%.2Lf\n", res);
    return 0;
}

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