【NOIP2005】过河题解

题面

【问题描述】

　　在河上有一座独木桥，一只青蛙想沿着独木桥从河的一侧跳到另一侧。在桥上有一些石子，青蛙很讨厌踩在这些石子上。由于桥的长度和青蛙一次跳过的距离都是正整数，我们可以把独木桥上青蛙可能到达的点看成数轴上的一串整点：0，1，……，L（其中L是桥的长度）。坐标为0的点表示桥的起点，坐标为L的点表示桥的终点。青蛙从桥的起点开始，不停的向终点方向跳跃。一次跳跃的距离是S到T之间的任意正整数（包括S,T）。当青蛙跳到或跳过坐标为L的点时，就算青蛙已经跳出了独木桥。
　　题目给出独木桥的长度L，青蛙跳跃的距离范围S,T，桥上石子的位置。你的任务是确定青蛙要想过河，最少需要踩到的石子数。

【输入文件】

　　输入文件river.in的第一行有一个正整数L（1 <= L <= 10^9），表示独木桥的长度。第二行有三个正整数S，T，M，分别表示青蛙一次跳跃的最小距离，最大距离，及桥上石子的个数，其中1 <= S <= T <= 10，1 <= M <= 100。第三行有M个不同的正整数分别表示这M个石子在数轴上的位置（数据保证桥的起点和终点处没有石子）。所有相邻的整数之间用一个空格隔开。

【输出文件】

　　输出文件river.out只包括一个整数，表示青蛙过河最少需要踩到的石子数。

【样例输入】

10
2 3 5
2 3 5 6 7

【样例输出】

2

【数据规模】

对于30%的数据，L <= 10000；
对于全部的数据， L <= 1≤L≤ 109 ，1≤s≤t≤10，1≤M≤100。

题解

分析

因为青蛙不能回头，满足无后效性原则，因此此题可用动规来解决
很容易想到：
对于任一位置x , 只能由前面[x-t , x-s]这个范围的位置跳过来，因此只要先求出这些位置踩的石子数，找个最少的位置跳过来就ok。因此很容易想到动态转移方程：

f[x]=min(f[x−j])+stone[x](j∈[s,t])

f[x]表示从桥头跳到x处需踩的最少石子数，stone[x]表示x处是否是石头（1表示是，0表示否）。
但对于10亿的数据，空间承受不了。
怎么办？？？
我们发现在长达10亿的桥上，只有最多100个石子，10亿中的100就像人体的几个细胞。
中间那么多的空隙该如何填补呢？？？
设第k个石子座标为x，第k-1个石子和第k个石子间距离足够大，则青蛙从两个石子间跳到第k个石子及之后的位置有：x、x+1、x+2、x+3……x+t-1。如果我们能保证，将石子k-1和石子k之间的距离缩短（即减少状态）后，青蛙依然能跳到这些位置，则可以平移。而这一点我们可以通过在两个石子间保留1个最小公倍数单位长度得到保证。
特别的：当s=t时，只需考查石子是否是s的倍数即可。这种情况单独考查。
至此我们得到了此题的解决方法。

代码

#include 
#include 
#define min(a, b) ((a)<(b)?(a):(b))
int num[101];
int f[10101];
int stone[10101];

int com(const void *a, const void *b)
{
    return *(int *)a - *(int *)b;
}

int main(int argc, char **argv)
{
    freopen("river.in","r",stdin);
    freopen("river.out","w",stdout);
    int i, j, k;
    int l, s, t, m;
    scanf("%d%d%d%d", &l, &s, &t, &m);
    for(i = 1; i <= m; i++){
        scanf("%d", &num[i]);
    }
    if(s == t){
        for(i = 1, j = 0; i <= m; i++){
            if(num[i] % s == 0){
                j++;
            }
        }
        printf("%d\n", j);
        return 0;
    }
    qsort(num, m + 1, sizeof(int), com);
    for(i = 1, j = 0; i <= m; i++){
        if(num[i] - num[i - 1] > 100){
            j += 100;
            stone[j] = 1;
        }else{
            j += num[i] - num[i - 1];
            stone[j] = 1;
        }
    }
    k = j + 100;
    for(i = 1; i <= k; i++){
        f[i] = 0xFFFFFFF;
        for(j = s; j <= t; j++){
            if(i - j < 0){
                break;
            }
            f[i] = min(f[i], f[i - j] + stone[i]);
        }
    }
    printf("%d\n", f[k]);
    return 0;
}

---

业精于勤荒于嬉，行成于思毁于随