状压DP-NOIPTG2005过河

先上题：洛谷1052

NOIPTG2005过河

题目描述

在河上有一座独木桥，一只青蛙想沿着独木桥从河的一侧跳到另一侧。在桥上有一些石子，青蛙很讨厌踩在这些石子上。由于桥的长度和青蛙一次跳过的距离都是正整数，我们可以把独木桥上青蛙可能到达的点看成数轴上的一串整点：0，1，……，L（其中L是桥的长度）。坐标为0的点表示桥的起点，坐标为L的点表示桥的终点。青蛙从桥的起点开始，不停的向终点方向跳跃。一次跳跃的距离是S到T之间的任意正整数（包括S,T）。当青蛙跳到或跳过坐标为L的点时，就算青蛙已经跳出了独木桥。
题目给出独木桥的长度L，青蛙跳跃的距离范围S,T，桥上石子的位置。你的任务是确定青蛙要想过河，最少需要踩到的石子数。

输入

输入文件river.in的第一行有一个正整数L（1 <= L <= 10^9），表示独木桥的长度。第二行有三个正整数S，T，M，分别表示青蛙一次跳跃的最小距离，最大距离，及桥上石子的个数，其中1 <= S <= T <= 10，1 <= M <= 100。第三行有M个不同的正整数分别表示这M个石子在数轴上的位置（数据保证桥的起点和终点处没有石子）。所有相邻的整数之间用一个空格隔开。

输出

输出文件river.out只包括一个整数，表示青蛙过河最少需要踩到的石子数。

解析

如果本题数据范围没有这么大，那么将是一道非常简单的DP。状态转移方程非常简单：
设f[i]表示到达i点时所能踩得最少石子。
如果i点有石子：f[i]=min(f[i],f[i-j]+1)
如果i点没有石子：f[i]=min(f[i],f[i-j])
但是看到这个题目的数据桥的长度<= 10^9，而石子的数量却<= 100。所以这道题如果不加以离散化绝对会超时或者爆空间。那么到底如何离散化呢？
我们其实可以将石子i与i-1之间的距离d[i]压缩：
一。若距离在一跳之内就能跳完（或者一跳就会跳过），那么距离无需压缩：压缩距离a[i]=a[i-1]+d[i]
二。若距离至少要两跳及以上才能跳完，那么距离就压缩成两跳。压缩距离a[i]=a[i-1]+t+(d[i]%t);
压缩完毕，接下来就是套用上面的状态转移方程，不过还有几点要注意：
一。L也要压缩，L=a[m]+((L-a[m])%t)+t。
二。青蛙最后一跳不一定刚刚好跳到桥尾，所以枚举的范围应该是1到L+t-1。
三。记得青蛙的跳跃范围是s-t而不是1-t！

代码

#include 
using namespace std; 
int len,s,t,m,a[101],f[10001],d[101],k[101],minn=10001; 
bool b[1001]; 
int main() 
{ 
    memset(f,0x7f,sizeof(f));f[0]=0;//记得初始化，而且不要赋值为0x7七个f！ 
    scanf("%d%d%d%d",&len,&s,&t,&m);
    for(int i=1;i<=m;i++) 
        scanf("%d",&a[i]); 
    sort(a+1,a+m+1); 
    for(int i=1;i<=m;i++) 
    { 
        d[i]=a[i]-a[i-1]; 
        k[i]=d[i]%t; 
    } 
    for(int i=1;i<=m;i++)//离散化过程 
    { 
        if(d[i]<=t)a[i]=a[i-1]+d[i]; 
        else a[i]=a[i-1]+t+k[i]; 
        b[a[i]]=1;//i点是否为石子 
    } 
    len=a[m]+((len-a[m])%t)+t; 
    for(int i=1;i<=len+t-1;i++)//DP 
        for(int j=s;j<=t;j++) 
            if(i-j>=0 && i-jif(!b[i])f[i]=min(f[i],f[i-j]); 
                else f[i]=min(f[i],f[i-j]+1); 
            } 
    for(int i=len;i<=len+t-1;i++) 
        minn=min(minn,f[i]); 
    printf("%d\n",minn); 
} 

谢谢观赏～