「USACO 2020 US Open Platinum」Circus （数数）（并查集）

传送门

• 神仙数数题，抄的 xyx

• 结论：钦定 $K$ 的点，如果不带标号，那么可以覆盖全树，现在带标号，只需要考虑标号间置换的同构
  那么最后的答案可以表示成 $\frac{n!}{\prod S_i!}$， $S_i$ 为极大等价类（考虑两个点能不能换，这个具有传递性）

• 那么考虑将度数不为 2 的点作为关键点，一棵树将被划分成若干条关键点组成的路径 $(a,b)$
  $a,b$ 侧的子树大小为 $A,B$，链长为 $C$，那么有 $(A-1)+(B-1)+C=n$，并且如果有 $(A-1)+(B-1)>K$，那么 $K$ 个点可以任意置换

• 按 $K$ 从大到小加入，并查集维护集合，每次询问考虑枚举两个没有合并的集合，将尽量多的点压到当前集合的及其子树中，考虑求剩下的点的个数，容斥一下发现是
  $$\sum B+C-1+K-N$$
  那么当前联通块的贡献就是（令 $x$ 为联通块内的边数，$y$ 为没有联通的个数）
  $$K-\sum B+C-1+K-N=K-(N-x-1)-y(N-K+1)$$
  发现我们暴力枚举连通块复杂度是对的，因为联通块个数为当前链个数 + 1，一条链的存在时间为它的长度，所以是 $O(n)$ 的，$Code$