noip2005 过河 （数论+动态规划）

P1002过河

Accepted

标签： 动态规划 NOIP提高组2005

描述

在河上有一座独木桥，一只青蛙想沿着独木桥从河的一侧跳到另一侧。在桥上有一些石子，青蛙很讨厌踩在这些石子上。由于桥的长度和青蛙一次跳过的距离都是正整数，我们可以把独木桥上青蛙可能到达的点看成数轴上的一串整点：0，1，……，L（其中L是桥的长度）。坐标为0的点表示桥的起点，坐标为L的点表示桥的终点。青蛙从桥的起点开始，不停的向终点方向跳跃。一次跳跃的距离是S到T之间的任意正整数（包括S,T）。当青蛙跳到或跳过坐标为L的点时，就算青蛙已经跳出了独木桥。

题目给出独木桥的长度L，青蛙跳跃的距离范围S,T，桥上石子的位置。你的任务是确定青蛙要想过河，最少需要踩到的石子数。

对于30%的数据，L <= 10000；
对于全部的数据，L <= 10^9。

格式

输入格式

输入的第一行有一个正整数L（1 <= L <= 10^9），表示独木桥的长度。第二行有三个正整数S，T，M，分别表示青蛙一次跳跃的最小距离，最大距离，及桥上石子的个数，其中1 <= S <= T <= 10，1 <= M <= 100。第三行有M个不同的正整数分别表示这M个石子在数轴上的位置（数据保证桥的起点和终点处没有石子）。所有相邻的整数之间用一个空格隔开。

输出格式

输出只包括一个整数，表示青蛙过河最少需要踩到的石子数。

样例1

样例输入1[复制]

10
2 3 5
2 3 5 6 7

样例输出1[复制]

2

限制

1s

来源

NOIp2005 第二题

解析：状态转移方程：f[i+j]=min(f[i+j],f[i]+stone[i+j])

         桥很长，但是石子数很少，也就是说，中间可能存在很长的一段空白区域，而这段空白区域就是造成大量无效运算的元凶，需要我们将这部分空白区域进行压缩。

         现在，我们假设每次走p或者p+1步，则有 px+(p+1)y=s。

         1.gcd(p+1,p)=gcd(1,p)=1,即p与p+1的最大公约数是1；

         2.由扩展欧几里得可知，对于二元一次方程组：px+(p+1)y==gcd(p,p+1)是有整数解的，即可得：

           px+(p+1)y==s是一定有整数解的。

         假设px+(p+1)y==s的解为：x=x0+(p+1)t,y=y0-pt。令0<=x<=p（通过增减t个p+1来实现），s>p*(p+1)-1,则有：y=（s-px）/（p+1）>=(s-p*p)/(P+1)>(p*(p+1)-1-px)/(p+1)>-1>=0

          即表示，当s>=p*(p+1)时，px+(p+1)y==s有两个非负整数解，每次走p步或者p+1步，p*(p+1)之后的地方均能够到达。如果两个石子之间的距离大于p*(p+1)，那么就可以直接将他们之间的距离更改为p*(p+1)。

          综上，得到压缩路径的方法：若两个石子之间的距离>t*(t-1)，则将他们的距离更改为t*(t-1)。

代码：

#include
#include
#include
using namespace std;

const int maxn=100;
int l,s,t,m;
int a[maxn+20],f[maxn*maxn];
bool stone[maxn*maxn];

int main()
{
  int i,j,k,x,ans;
  scanf("%d%d%d%d",&l,&s,&t,&m);
  for(i=1;i<=m;i++)scanf("%d",&a[i]);
  if(s==t)
    {
      for(ans=0,i=1;i<=m;i++)if(a[i]%s==0)ans++;
      printf("%d\n",ans);  return 0;
	}
  sort(a+1,a+m+1);
  for(k=t*(t-1),j=0,i=1;i<=m;i++)
    {
      a[i]-=j,x=a[i]-a[i-1];
      if(x>k)j+=x-k,a[i]=a[i-1]+k;
	}
	
  memset(f,90,sizeof(f));
  for(i=1;i<=m;i++)stone[a[i]]=1;
  for(f[0]=0,i=0;i<=a[m];i++)
    for(j=s;j<=t;j++)f[i+j]=min(f[i+j],f[i]+stone[i+j]);
  for(ans=f[a[m]],i=1;i