大二下：概率论与数理统计复习 期末试题A

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一、填空题（每小题 4 分，共 24 分）

1. $已知P(A)=0.8,P(A-B)=0.4,则P(\overline{AB})=\underline{0.6}.$
   $解：因为P(A-B)=P(A)–P(AB)，所以P(AB)=0.4，进而P(\overline{AB})=1-P(AB)=0.6$
2. $设X服从二项分布b(3,0.6),则E(X)=\underline{1.8}.$
   $解：二项分布B(n,p)的数学期望为：np，方差为：np(1-p)$
3. 设二维随机变量(X,Y)的概率密度函数为$f(x,y)=\{\begin{array}{cc}ax{y}^2,& 0\le x\le 2,0\le y\le 1\\ 0,& 其他\end{array}$则$a=\underline{\frac{3}{2}}$
   解：
   $1={\int }_0^2{\int }_0^{1}ax{y}^{2}dydx$
   $1={\int }_0^2\frac{ax{y}^3}{3}{|}_0^{1}dx$
   $1={\int }_0^2\frac{ax}{3}dx$
   $1=\frac{a{x}^2}{6}{|}_0^2$
   $\frac{4a}{6}=1$
   $a=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$
4. $设X\sim t_n,则X^2\sim \underline{F_{1,n}}.$
5. 设总体$X\sim B(n,p)$$,X_1,\dots X_n$是从总体$X$中抽取的一个样本,则参数p的矩估
   量为$\hat{p}=\underline{\frac{\overline{X}}{n}}.$
   $解：二项分布B(n,p)的数学期望为np，则np=\overline{X}\Rightarrow \hat{p}=\frac{\overline{X}}{n}$
6. 设$X_1,X_2,...X_n$为来自正态总体$N(\mu ,4)$的简单样本,则均值$\mu$的置信系数为$1-\alpha$的置信区间为$\underline{[\overline{X}-\frac{2}{\sqrt{n}}{Z}_{\frac{\alpha }{2}},\overline{X}+\frac{2}{\sqrt{n}}{Z}_{\frac{\alpha }{2}}]}.$
   解：设$X_1,X_2,...,X_n$为来自正态总体$N(\mu ,{\sigma }^2)$的简单样本，${\sigma }^2$已知，则均值$\mu$的置信系数为$1-\alpha$的置信区间为$\underline{[\overline{X}-\frac{\sigma }{\sqrt{n}}{Z}_{\frac{\alpha }{2}},\overline{X}+\frac{\sigma }{\sqrt{n}}{Z}_{\frac{\alpha }{2}}]}.$

二、单项选择题（每小题4 分，共20 分）

7. 对于任意两事件A与B ,下列命题正确的是(B)
   A. $AB\ne \varnothing ,则A与B一定独立$
   B. $AB\ne \varnothing ,则A与B有可能独立$
   C. $AB=\varnothing ,则A与B一定独立$
   D. $AB=\varnothing ,则A与B一定不独立$
   $解：B正确.$
   $定义：如果等式P(AB)=P(A)P(B)成立，则称事件A与B相互独立。如果A=Ф,则P(AB)=0=P(A)P(B),于是A,B相互独立,也就是不可能事件与任何事件独立.因此D不正确.$
8. $设X_1,X_2,X_3均服从[0,2]上的均匀分布,则E(-X_1+9X_2+3X_3)为(C)$
   $A.9B.10C.11D.13$
   $解：$
   $均匀分布U(a,b)的数学期望为\frac{a+b}{2}，则E(-X_1+9X_2+3X_3)=-E(X_1)+9E(X_2)+3E(X_3)=-1+9+3=11$
9. $设X,Y为随机变量,若E(XY)=E(X)+E(Y),则有的(A).$
   $$\begin{array}{rlr}& A.Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)& B.Var(XY)=Var(X)Var(Y)\\ & C.X和Y相互独立& D.X和Y不独立\end{array}$$
   解：
   $Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y),Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)+2Cov(X,Y)$
   $\because E(XY)=E(X)+E(Y)\therefore Cov(X,Y)=0\Rightarrow Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)$
10. $设X与Y为相互独立的随机变量,其分布函数分别为F_x(X)和F_y(Y),则随机变量Z=max(X,Y)的分布函数为(D).$
    $$\begin{array}{ll}\text{ A. }1-F_X(x)F_Y(y)& B.1-\left[1-F_X(x)\right]\cdot \left[1-F_Y(y)\right]\\ \text{ C. }\left[1-F_X(x)\right]\cdot \left[1-F_Y(y)\right]& D.F_X(x)F_Y(y)\end{array}$$
    $解：$
    $设X与Y为相互独立的随机变量,其分布函数分别为F_x(X)和F_y(Y),则随机变量Z=min(X,Y)的分布函数为:1-\left[1-F_X(x)\right]\cdot \left[1-F_Y(y)\right]，Z=max(X,Y)的分布函数为:F_X(x)F_Y(y)$

四、计算题（第12-14 题，每题8 分；第15-16 题，每题10 分；第17 题12 分；共60 分）

12. 设两台机床加工同样的零件，第一台出现废品的概率为0.1，第二台出现废品的概率为0.2，已知两台机床生产的成品比例为1:2，加工出来的零件放在一起，求：在仓库中随机地取一只成品，若已知取到的是次品，问此次品是由第一台机床生产的概率为多少？
    $解：$
    $设A=\{零件是废品\},B_1=\{零件由第一台机床加工\},B_2=\{零件由第二台机床加工\}，则$
    $$\begin{array}{rlr}& P(B_1)=\frac{1}{3},& P(B_2)=\frac{2}{3}\\ & P(A|B_1)=0.01,& P(A|B_2)=0.02\end{array}$$
    $由贝叶斯公式，得$
    $$\begin{array}{rl}P(A|B_1)& =\frac{P(B_1)P(A|B_1)}{P(B_1)P(A|B_1)+P(B_2)P(A|B_2)}\\ & =\frac{\frac{1}{3}\times \frac{1}{100}}{\frac{1}{3}\times \frac{1}{100}+\frac{2}{3}\times \frac{2}{100}}\\ & =\frac{1}{5}=0.2\end{array}$$
    $\therefore 若已知取到的是次品，则此次品是由第一台机床生产的概率为0.2$
13. $设连续型随机变量X的分布函数为$$F(x)=\{\begin{array}{cc}0,& x<1\\ \ln x,& 1\le x<e\\ 1,& x\ge e\end{array}$$，求：$
    $（1）P\{2<x\le 3\}．（2）X的概率密度函数f(x).$
    $解：$
    $(1)P\{2<x\le 3\}=1-\ln 2$
    $(2)\because (\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$
    $\therefore f(x)=\{\begin{array}{cc}\frac{1}{x},& 1\le x\le e\\ 0,& 其他\end{array}$
    注：
    • 分布函数是右连续的（x的区间左闭右开），一般左边要考虑等号。
    • 密度函数是无所谓的，等号可加可不加，一般不用加。若加，应和分布函数保持一致。
      为什么无所谓？这是由于概率密度函数的研究对象是连续型的随机变量，我们知道连续型随机变量的单点概率为0。
      $$单点概率为0：P\{X=a\}=0\text{\hspace{1em}(3)}$$
      $$P\{a<X\le b\}=P\{a\le X\le b\}=P\{a<X<b\}=F(b)-F(a)\text{\hspace{1em}(4)}$$
      $$P\{X>a\}=1-F(a)\text{\hspace{1em}(5)}$$
      如果细究，则对于分段函数的分界点处，需要看看左右导数是否相等，相等，则有导数，则f（x）在分界点处取等号，不相等，则无导数，f（x）在分界点处不取等号。
      例如此题，F（x）在x=1点处的左导数为0，右导数为1，左右导数不相等，所以在x=1点处不可导，所以1/x的范围就没有x=1这点，而x=e这点左导数为1/e，右导数为0，左右导数也不相等，所以也不可导，所以也没有等于e这点。
14. $设随机变量X\sim N(0,1),试求随机变量Y=2X-1的概率密度函数．$
    $解：$
    $\because 正态分布$$N(\mu ,{\sigma }^2)的概率密度函数为：$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}},(-\infty <x<+\infty )$$，标准正态分布$$N(0,1)的概率密度函数为：$$\varphi (x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{x^2}{2}},(-\infty <x<+\infty )$
    $\therefore f_X(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{x^2}{2}},(-\infty <x<+\infty )$
    $\therefore F_Y(y)=P\{Y\le y\}=P\{2X-1\le y\}=P\{X\le \frac{y+1}{2}\}=F_X(\frac{y+1}{2})$
    $\therefore f_Y(y)=f_X(\frac{y+1}{2})\times (\frac{y+1}{2}{)}^{\prime }=\frac{1}{2}{f}_X(\frac{y+1}{2})$
    $=\frac{1}{2}\times \frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{(\frac{y+1}{2}{)}^2}{2}},(-\infty <x<+\infty )$
    $=\frac{1}{2\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{(y+1{)}^2}{8}},(-\infty <x<+\infty )$
15. $设二维随机向量(X,Y)的概率密度函数为f(x,y)=\{\begin{array}{ll}4.8y(2-x),& 0\le x\le 1,0\le y\le x\\ 0,& 其他\end{array},求边缘概率密度函数f_X(x),f_Y(y).$
    $解1：$
    
    $解2：$
    
    Y（y）为什么从y到1?
    
16. $设随机变量X\sim N(0,4),Y\sim U(0,4),并且X与Y相互独立,求Var(X+Y)和Var(2X-3Y).$
    $\because 正态分布N(\mu ,{\sigma }^2)的方差为{\sigma }^2，均匀分布U(a,b)的方差为\frac{(b-a{)}^2}{12}$
    $\therefore X的方差为4，Y的方差为\frac{4}{3}$
    $Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)=\frac{16}{3}$
    $Var(2X-3Y)=Var(2X)+Var(3Y)=4Var(X)+9Var(Y)=16+12=28$