欧拉图

1 欧拉图

    定义7-4.1 给定无孤立结点图G，若存在一条路，经过图中海边一次且仅一次，该条路称为欧拉路；若存在一条回路，经过图中海边一次且仅一次，该回路称为欧拉回路。
    具有欧拉回路的图称作欧拉图。
    定理7-4.2 无向图G具有一条欧拉路，当且仅当G是连通的，且有零个或两个奇数度结点。
    证明 必要性
    设G具有欧拉路，即有点边序列v0e1v1e2v2…eiviei+1…ekvk，其中结点可能重复出现，但边不重复，因为欧拉路经过所有图G的结点，故图G必是连通的。
    对任意一个不是端点的结点vi，在欧拉路中每当v i 出现一次，必关联两条边，故vi虽可重复出现，但deg(vi)必是偶数。对于端点，若v0＝vk，则d(v0)为偶数，即G中无奇数度结点，若端点v0与vk不同，则d(v0)为奇数，d(vk)为奇数，G中就有两个奇数度结点。
    充分性
    若图G连通，有零个或两个奇数度结点，我们构造一条欧拉路如下：
    (1)若有两个奇数度结点，则从其中的一个结点开始构造一条迹，即从v0出发经关联边e1“进入”v1，若deg(v1)为偶数，则必可由v1再经关联边e2进入v2，如此进行下去，每边仅取一次。由于G是连通的，故必可到达另一奇数度结点停下，得到一条迹L：v0e1v 1 e2…viei+1…vk。若G中没有奇数度结点则从任一结点v 0 出发，用上述方法必可回到结点v 0 ，得到上述一条闭迹L1。
    (2)若L1通过了G的所有边，则L1就是欧拉路。
    (3)若G中去掉L1后得到子图G′，则G′中每个结点度数为偶数，因为原来的图是连通的，故L1与G′至少有一个结点v i 重合，在G′中由v i 出发重复(1)的方法，得到闭迹L2。
     (4)当L 1 与L 2 组合在一起，如果恰是G，则即得欧拉路，否则重复(3)可得到闭迹L 3 ，以此类推直到得到一条经过图G中所有边的欧拉路。 
    推论 无向图G具有一条欧拉回路，当且仅当G是连通的，并且所有结点度数全为偶数。
    由于有了欧拉路和欧拉回路的判别准则，因此哥尼斯堡七桥问题立即有了确切的否定答案，因为从图7-4.2中可以看到deg(A)＝5，deg(B)＝deg(C)＝deg(D)＝3，故欧拉回路必不存在。
    与七桥问题类似的还有一笔画的判别问题，要判定一个图G是否可一笔画出，有两种情况：一是从图G中某一结点出发，经过图G的每一边一次仅一次到达另一结点。另一种就是从G的某个结点出发，经过G的每一边一次仅一次再回到该结点。上述两种情况分别可以由欧拉路和欧拉回路的判定条件予以解决。如图7-4.3(a)中，因为deg(v2)＝deg(v3)＝3，deg(v1)＝deg(v4)＝deg(v5)＝2，故必有从v2到v3的一笔画。在图7-4.3(b)中所有结点度数均为偶数，所以可以从任一结点出发，一笔画回到原出发点。
                
    欧拉路和欧拉回路的概念，很易推广到有向图中去。
2 有向欧拉图
    定义7-4.2 给定有向图G，通过图中每边一次且仅一次的一条单向路(回路)，称作单向欧拉路(回路)。
    定理7-4.2 有向图G具有一条单向欧拉回路，当且仅当是连通的，且每个结点入度等于出度。一个有向图G具有单向欧拉路，当且仅当它是连通的，而且除两个结点外，每个结点的入度等于出度，但这两个结点中，一个结点的入度比出度大1，另一个结点的入度比出度小1。
    这个定理的证明，可以看作是无向图的欧拉路的推广，因为对于有向图的任意一个结点来说，如果入度与出度相等，则该点的总度数为偶数，若入度与出度之差为1时，其总度数为奇数，因此定理7-4.2的证明与定理7-4.1的证明类似。
    例1 计算机鼓轮的设计。设有旋转鼓轮其表面被等分成24个部分，如图7-4.4所示。
                    
    其中每一部分分别用绝缘体或导体组成，绝缘体部分给出信号0，导体部分给出信号1，在图7-4.4中阴影部分表示导体，空白部分表示绝缘体，根据鼓轮的位置，触点将得到信息1101，如果鼓轮沿顺时针方向旋转一个部分，触点将有信息1010。问鼓轮上16个部分怎样安排导体及绝缘体，才能使鼓轮每旋转一个部分，四个触点能得到一组不同的四位二进制数信息。
            
    设有一个八个结点的有向图(图7-4.5)，其结点分别记为三位二进制数{000，001，010，011，100，101，110，111}，设ai∈{0，1>，从结点a1a2a3可引出两条有向边，其终点分别是a2a30以及a2a3l。该两条边分别记为a1a2a30和a1a2a3l。按照上述方法，对于八个结点的有向图共有16条边，在这种图的任一条路中，其邻接的边必是a1a2a3a4和a2a3a4a5的形式，即是第一条边标号的后三位数与第二条边标号的头三位数相同。因为图中16条边被记成不同的二进制数，可见前述鼓轮转动所得到16个不同位置触点上的二进制信息，即对应于图中的一条欧拉回路。在图7-4.5中，每个结点的入度等于2，出度等于2，故在图中必可找到一条欧拉回路如(e0e1e2e4e9e3e6e13e10e5e11e7e15e14e12e8)，根据邻接边的标号记法，这16个二进制数可写成对应的二进制数序列0000100110101111。把这个序列排成环状,即与所求的鼓轮相对应，如图7-4.4所示。

    上面的例子，我们可以把它推广到鼓轮具有n个触点的情况。为此我们只要构造2n-1个结点的有向图，设每个结点标记为n-1位二进制数，从结点a1a2…an-1出发，有一条终点为a2a3…an-10的边，该边记为a1a2…an-10；还有一条边的终点为a2a3…an-11的边，该边记为a1a2…an-11。这样构造的有向图，其每一结点的出度和入度都是2，故必是欧拉图。由于邻接边的标记是第一条边的后n-1位二进制数与第二条边的前n-1位二进制数相同，为此就有一种2n个二进制数的环形排列与所求的鼓轮相对应。

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