离散数学-图论-欧拉图与哈密顿图整理

欧拉图与哈密顿图整理

基本概念

• 设$G$是一个无向图，包含$G$的每条边的简单道路称为欧拉道路。包含$G$的每条边的简单回路称为欧拉回路，具有欧拉回路的图称为欧拉图。

• 设$G$是一个连通图，若$G$中存在一条包含全部结点的基本道路，则称这条道路为$G$的哈密顿道路。若$G$中存在一个包含全部结点的圈，则称这个圈为$G$的哈密顿圈。含有哈密顿圈的图称为哈密顿图。

• 设$G=(V, E)$是一个$n$阶的简单图。若存在一对不相邻的结点$u$和$v$，满足$d(u)+d(v) \geqslant n$，则构造图$G + uv$并且在图$G + uv$上重复上述步骤，直至不再存在着这样的结点对为止，所得图称为$G$的闭包，记为$c(G)$。

基本定理

1. 连通图$G$是欧拉图，当且仅当$G$不含奇数度结点。

2. 非平凡连通图$G$含有欧拉道路，当且仅当$G$最多有两个奇数度结点。

3. 连通有向图$G$含有有向欧拉回路，当且仅当$G$中每个结点的入度等于出度。连通有向图$G$含有欧拉道路，当且仅当除最多两个结点外，其余每个结点的入度等于其出度，而这两个结点中一个结点的入度比其出度多$1$，另一结点的入度比其出度少$1$。

4. 如果$G=(V, E)$是哈密顿圈，则对$V$的任何非空真子集$S$，都有$w(G-S) \leqslant |S|$

5. 设$G=(V, E)$是$n$阶简单图。如果$G$中任一对结点$u$和$v$，满足$d(u)+d(v) \geqslant n-1$，则$G$中必含有哈密顿道路。

6. 设$G=(V, E)$是$n \gt 3$阶的简单图。若对每对结点$u,v \in V, d(u)+d(v) \geqslant n$，则$G$必是哈密顿图。

7. 一个简单图是哈密顿图当且仅当其闭包是哈密顿图。

8. 设$G$是一个$n$阶无环的连通平面图。若$G$含有哈密顿圈$C$，则$\sum_{i=2}^{n}(i-2)(f_i^{(1)}-f_i^{(2)})=0$。其中$f_i^{(1)}$和$f_i^{(2)}$分别是在圈$C$内部和外部的$i$度面的数目。