概率论与数理统计习题解答精选
问题1
设随机变量 \(X\) 服从标准正态分布\(N(0,1)\), 求\(E(X^{k})\)
解答
方法1（利用分部积分得到递推式子）若 k 是奇数， 则\(x^k\varphi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}x^{k}e^{-x^2/2}\)是奇函数。故
\[E(X^{k})=\int\limits_{-\infty}^{\infty}x^{k}\varphi(x)dx = 0 \].
若 \(k = 0\), 则
\[E(X^0) = E(1) = 1\].
若 \(k = 2\), 则
\[E(X^2) = D(X)+(EX)^2 = 1\].
对于一般的 \(k = 2n\),
\[E(X^{2n}) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\infty}x^{2n}e^{-x^2/2}dx = \frac{2}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{0}^{\infty}x^{2n}e^{-\frac{x^2}{2}}dx\].
令 \(f_n = \int\limits_{0}^{\infty}x^{2n}e^{-\frac{x^2}{2}}dx\), 则由分部积分得递推式，
\[ f_n = \int\limits_{0}^{\infty}x^{2n-1}d(-e^{-\frac{x^2}{2}}) = (2n-1)\int\limits_{0}^{\infty}x^{2n-2}e^{-\frac{x^2}{2}}dx = (2n-1)f_{n-1}\].
由这个递推式子, \(f_0 = \sqrt{\frac{\pi}{2}}\) 及\(E(X^{2n}) = \frac{2}{\sqrt{2\pi}}f_n\)，即可得\(E(X^{2n}) = (2n-1)(2n-3)\cdots 3 \cdot 1\).
方法2 (利用\(\Gamma\)函数）
提示： 令\(t=\frac{x^2}{2}\), 则
\[f_n = \int\limits_{0}^{\infty}x^{2n}e^{-\frac{x^2}{2}}dx = \int\limits_{0}^{\infty}(2t)^{\frac{2n-1}{2}}e^{-t}dt = 2^{n-1/2}\Gamma(n+\frac{1}{2})\], 其中 \(\Gamma(\alpha) = \int\limits_{0}^{\infty}t^{\alpha-1}e^{-t}dt\).
然后利用\(\Gamma\)函数(请参阅高数书)的性质易得.
作业12： 习题7：第12，13题；习题8：第1，2，6题
习题7：第12题
解：
（1）该问题为单正态总体方差已知的均值的区间估计。由课本第154页，式子（7.3.5）知所求的置信区间为 \([\bar{X}-z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\bar{X}+z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}]\).代入数据 \(\alpha=0.05\), \(n=9\), \(\sigma=1.5\), \(\bar{X}= 11\),可得所求置信区间为\([10.02,11.98]\).
注意：这道题值得注意的是关于\(z_{0.025}\)的计算.
由上分位点的知识可知(参看课本Page 128），\(z_{\frac{\alpha}{2}}\)由式子 \(P(Z>z_{\frac{\alpha}{2}})=\frac{\alpha}{2}\) 定义，在我们这里， \(Z\)是标准正态分布 \(N(0,1)\)(关于上分位点的理解可结合正态分布的概率密度函数的图像来理解).
故有
\(P(Z>z_{\frac{\alpha}{2}})=\int_{z_{\frac{\alpha}{2}}}^{\infty}\varphi(x)dx=1-\Phi(z_{\frac{\alpha}{2}})=\frac{\alpha}{2}\).
已知 \(\frac{\alpha}{2}=0.025\), 故 \(z_{\frac{\alpha}{2}} = \Phi^{-1}(1-\frac{\alpha}{2})=\Phi^{-1}(0.975)=1.96\).
(2) 该问题为单正态总体方差未知的均值的区间估计。 其枢轴量为 \(\frac{\bar{X}-\mu}{S/\sqrt{n}}\), 置信区间为\([\bar{X}-t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1)\frac{S}{\sqrt{n}},\bar{X}+t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1)\frac{S}{\sqrt{n}}]\). 代入数据 \(\alpha=0.05\), \(n=9\), \(\bar{X}=11\), \(S= 2.121\),\(t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1)=t_{0.025}(8)=2.3060\), 可得所求的置信度95%的置信区间为\([9.37,12.63]\).
习题7：第13题
解：
方差\(\sigma^2\)未知的单正态总体的均值\(\mu\)的置信度为\(1-\alpha\)的置信区间为\([\bar{X}-t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1)\frac{S}{\sqrt{n}},\bar{X}+t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1)\frac{S}{\sqrt{n}}]\). 代入数据 \(n=20\), \(\bar{x}=1832\), 样本标准差\(s=\sqrt{497}=22.293\),\(t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1)=t_{0.025}(19)=2.093\)，可得均值\(\mu\)的置信度为\(95%\)的置信区间为\([1821.57,1842.43]\).
均值\(\mu\)未知的单正态总体的方差\(\sigma^2\)的置信度为\(1-\alpha\)的置信区间为\([\frac{(n-1)S^2}{\chi_{\frac{\alpha}{2}}^2(n-1)},\frac{(n-1)S^2}{\chi_{1-\frac{\alpha}{2}}^2(n-1)}]\). 代入数据 \(n=20\), \(\bar{x}=1832\), 样本标准差\(s=\sqrt{497}=22.293\), \(\chi_{\frac{\alpha}{2}}^{2}(n-1)=\chi_{0.025}^2(19) = 32.852\), \(\chi_{1-\frac{\alpha}{2}}^{2}(n-1)=\chi_{0.975}^2(19) = 8.907\), 可得方差\(\sigma^2\)的置信度为\(95%\)的置信区间为\([287.44,1060.23]\)(注：与书上答案不一致，因为此处计算由excel的统计函数算得，相对精度更高。如果查表计算，则与书上答案一致).
习题8：第1题
解：
(1) 犯第一类错误的概率 \(\alpha = P(拒绝H_0 | H_0 为真）\).
\(H_0\)为真即\(\mu = 0\), 拒绝\(H_0\)即样本均值落在拒绝域\(\{|\bar{x}|\ge 0.392\}\)，故
\[\alpha = P(|\bar{x}|\ge 0.392 | \mu= 0)\].
因为 \(Z=\frac{\bar{x}-0}{1/\sqrt{25}}\) 服从标准正态分布\(N(0,1)\),故有
\[\alpha = P(|\bar{x}|\ge 0.392 | \mu= 0) = P(|Z| \geq 5*0.392) = P(|Z| \ge 1.96) = 2* P(Z\geq 1.96) = 2*(1-\Phi(1.96))=0.05\].
另外，检验水平\(\alpha\)即为0.05.
(2) 犯第二类错误的概率 \(\beta = P(接受H_0 | H_0 为假）\).
现在 \(H_1:\mu = 0.3\), 可知 \(H_0: \mu \ne 0.3\). \(H_0\)为假<=>\(H_1\)为真<=>\(\mu=0.3\). 接受\(H_0\)<=>检验统计量落在接受域.
现接受域为\(\{|\bar{x}|\le 0.392\}\).
故第二类错误的概率为
$\beta = P( |\bar{x}| \le 0.392 | \mu = 0.3) $.
当 $\mu =0.3 $时，
\(Z = \frac{\bar{x}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}} = \frac{\bar{x} - 0.3}{1/5} = 5(\bar{x}-0.3)\)服从标准正态分布\(N(0,1)\). 故
\[\beta = P( |\bar{x}| \le 0.392 | \mu = 0.3) = P(-0.392 < \bar{x} < 0.392) = P( 5(-0.392-0.3)
习题8：第2题
解:
根据题意，要检验假设： \(H_0: \mu = 2500\), \(H_1: \mu \ne 2500\).
检验统计量（即枢轴量）为 \(Z = \frac{\bar{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}\)， 其服从标准正态分布 \(N(0,1)\).
拒绝域为 \(W = \{|Z|\ge z_{\frac{\alpha}{2}}\}\).
现在 \(z = \frac{2537-2500}{150/\sqrt{26}} = 1.2578 < z_{0.025} = 1.96\), 故不属于拒绝域，因此接受原假设 \(H_0: \mu = 2500\).
习题8：第6题
解：
（1） 根据题意，要检验假设： \(H_0: \sigma^2 = 0.048^2, H_1: \sigma^2 \ne 0.048^2\).
检验统计量(即枢轴量）为 \(\chi^2 = \frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\)， 其服从卡方分布 \(\chi^{2}(n-1)\).
拒绝域为 \(\{ \chi^2 \le \chi_{1-\frac{\alpha}{2}}^2(n-1), or, \chi^2 \ge \chi_{\frac{\alpha}{2}}^2(n-1)\}\).
现在 \(S^2 = 0.00778\), \(\chi^2 = \frac{4*0.00778}{0.048^2}= 13.5069\), \(\chi_{1-\frac{\alpha}{2}}^2(n-1) = 0.4844\), \(\chi_{\frac{\alpha}{2}}^2(n-1) = 11.1433\), \(\chi^2=13.5069 > 11.1433\)， 属于拒绝域，因此拒绝原假设 \(H_0: \sigma^2 = 0.048^2\).
(2) 根据题意，要检验假设： \(H_0: \sigma^2 > 0.048^2, H_1: \sigma^2 \le 0.048^2\).
检验统计量（即枢轴量）为 \(\chi^2 = \frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\)， 其服从卡方分布 \(\chi^{2}(n-1)\).
拒绝域为 \(\{ \chi^2 < \chi_{\alpha}^2(n-1)\}\).
现在 \(S^2 = 0.00778\), \(\chi^2 = \frac{4*0.00778}{0.048^2}= 13.5069\)，$\chi_{\alpha}^{2}(n-1) = \chi_{0.05}^2(4) = 9.4877 $, \(9.4877 < 13.5069\), 属于拒绝域，因此拒绝原假设 \(H_0 : \sigma^2 > 0.048^2\).
注： 在当前的检验水平和样本容量下，我们既无法断言\(\sigma = 0.048\), 也无法断言\(\sigma > 0.048\)。 一种可能的情况是\(\sigma <0.048\)， 这需要我们设计对应的假设检验 \(H_0: \sigma^2 < 0.048^2, H_1: \sigma^2 > 0.048^2\)进行检验。 更可能的情况是在当前的检验水平和样本容量条件下，我们无法得出统计意义上的断言。