“学习笔记”之《算法导论》----第六部分----图算法----第二十六章----最大流

本人大四即将结束，于2018年12月18日购《算法导论》这本书，慢慢看，第一阶段先主要理解各个章节说的算法都是什么意思，书上的课后习题先不做，用得上什么算法我再详细学习。这是官方课后答案的链接。

放在开头：没有好的算法，坏的算法之说，重点是针对不同的情况，针对不同的数据，针对不同的需求，去选择算法，改良算法。我的数学功底不强，太难的公式我看不懂，太高深的思想我理解不了，我主要以应用为主，不以解释数学公式为主。

这是一个很有意思的问题。回忆一下基尔霍夫定律，对于一个结点来说，流入的电流等于流出的。“最大流”问题跟这个基尔霍夫定律差不多，我们将有向图看成是一个“流网络”。每一个边都有最大的容量限制，流量只能在0，和最大容量限制之间设定。我们的目的，是控制每个边的实际流量（注意，不能超过每个边的容量限制），使得流入汇聚点的流量最大。

下面这个就是一张流网络图，s表示开始点，t表示汇聚点。

斜杠的左边表示实际流量，右边表示最大的容量限制。

对于此图而言，我们的目的就是使流入t的实际流量最大。

Ford-Fulkerson方法

这个是一种解决最大流问题的常用方法，而不是算法，介绍这个方法之前，先说三个重要的思想。

1、残存网络与反向边（该方法的灵魂之处）

不添加反向边，就没有机会再次调整流网络的机会，正是因为正向流增加的同时给此边的逆向边减去相同的流量，才能给予回流的机会。

2、增广路径

下图中的阴影路径就是一条增广路径，增广路径中，最大能取4作为流量值。

再下面这个图就是将4作为流量值的残存网络图。

3、流网络的切割

这个最大流最小切割定理告诉我们，一个流最大流当且仅当其残存网络不包含任何增广网络。

Edmonds-Karp算法

是上面这个Ford-Fulkerson方法的一种典型实现。寻找增广网络的方法是广度优先搜索方法，我们在残存网络中选择的增广路径是一条从源结点s到汇点t的最短路径，其中每条边的权重为单位距离。

最大二分匹配

给定一个无向图G=(V,E)，一个匹配是边的一个子集E，使得对于所有结点v∈V，子集M中最多有一条边与结点v相连。如果子集M中的某条边与结点v相连，则称结点v由M所匹配。否则，结点υ就是没有匹配的。最大匹配是最大基数的匹配，也就是说，对于任意匹配M′，有|M|≥|M′的匹配M。

我们要使匹配数量达到最大。

我们在这里将最大二分匹配问题，转换到了最大流问题，我们如果得到了最大流，就得到了最大匹配数量。