利用BP神经网络求解非线性方程组

利用BP神经网络求解非线性方程组

待求解问题：

思路

我们将坐标$(x_1,x_2,x_3)$对应的函数值$[u(x_1,x_2,x_3),v(x_1,x_2,x_3),w(x_1,x_2,x_3)]$作为输入向量，而将坐标$(x_1,x_2,x_3)$作为目标向量，去初值点$x_0$附近多个坐标对应的函数值向量作为输入，训练神经网络。

将$[0,0,0]$作为输入输入到训练好的神经网络中，就可以得到该线性方程组的一个近似解$x_1^{\ast },x_2^{\ast },x_3^{\ast }$

matlab代码

• $u(x_1,x_2,x_3)$

function u=u(x)
u = 3*x(1)-cos(x(2)*x(3))-0.5;

• $v(x_1,x_2,x_3)$

function v=v(x)
v = x(1)^2 -81 * (x(2)+0.1)^2+sin(x(3))+1.06;

• $w(x_1,x_2,x_3)$

function w=w(x)
w = exp(-x(1)*x(2))+20*x(3)+(10*pi - 3) / 3;

• 主程序

% ----------------------------------
% 使用 神经网络求解非线性方程组
% 以坐标(x,y,z)为目标向量
% 坐标(x,y,z)对应的各个非线性函数的值(u(x,y,z), v(x,y,z), w(x,y,z))为输入向量
% 训练网络后，输入(0,0,0)对应的输出即非线性方程组的一个近似解
% -----------------------------------
x0 = [0.1 0.1 -0.1]; %初值

x = ones(200,3); % 根据初值得到200个点
for i = 1:200
    x(i,:) = x0 + (i - 100) * 0.01;
end
P = zeros(3,200); % 输入样本矩阵，每列为一个样本
for i = 1:200
    P(:,i) = [u(x(i,:)) v(x(i,:)) w(x(i,:))];
end
T = x'; % 目标矩阵，每列为一个目标向量

net = newff([-100,100; -100,100; -100,100;],[3 3],{'tansig','logsig'},'traingd'); % 输入3，输出3！！！！(注意网络输入与目标向量的维数对应)
net.trainParam.epochs = 15000; % 迭代15000次
net.trainParam.goal = 0.01; % 误差
LP.lr = 0.1; % 学习率

% 训练网络
net = train(net, P, T);

% 给出非线性方程的近似解
res = sim(net, [0;0;0]) 

求解结果为：

此时，解和真实解还是有误差，可以调整输入样本来得到更好的近似解。

参考文献：用人工神经网络求解非线性方程组的一种方法