变分推断中的ELBO(证据下界)

本文作者：合肥工业大学 电子商务研究所 钱洋 email：[email protected] 。
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变分推断简介

变分推理的目标是近似潜在变量(latent variables)在观测变量（observed variables）下的条件概率。解决该问题，需要使用优化方法。在变分推断中，需要使用到的一个重要理论，是平均场理论，读者可以参考我的另外一篇博客：
https://qianyang-hfut.blog.csdn.net/article/details/86644192

变分推断等价于最小化KL散度。

其中，$q(z)$为近似分布，$p(z|x)$为所要求的的后验概率分布。这里之所以对$p(z|x)$进行近似，是因为其很难计算，在下一小节将对其进行讨论。

KL散度可以表示为：

其中，$Q(x)$为要近似的分布，$P(x|D)$为参数$x$的条件概率分布。

这个公式可以继续化简，读者可以参考我的另外一篇博客：
https://qianyang-hfut.blog.csdn.net/article/details/86644192
或者参考：A Tutorial on Variational Bayesian Inference

化简后的结果为：

其中，$lnP(D)$为log似然，$L$为log似然的下界。使得KL散度最小，相当于最大化$L$。如下为三者之间的关系：

ELBO

ELBO，全称为 Evidence Lower Bound，即证据下界。这里的证据指数据或可观测变量的概率密度。

假设$x=x_{1:n}$表示一系列可观测数据集，$z=z_{1:m}$为一系列隐变量(latent variables)。则可用$p(z,x)$表示联合概率，$p(z|x)$为条件概率，$p(x)$为证据。

那么，贝叶斯推理需要求解的就是条件概率，即：

然而，对很多模型而言，计算$p(x)$是很困难的，即：

因此，无法直接计算$p(z|x)$。那么，这里变分推断就来了。在上一节中已提及，变分推断的目标是找到一个概率密度函数$q(z)$来近似$p(z|x)$*，要得到最佳的$q(z)$必须优化：

其中，KL散度可以表示为：

由于KL散度大于0，进而我们可以求得：
$$logp(x)\ge E\left[logp(z|x)\right]-E\left[logq(z)\right]$$
这里终于知道为什么叫证据下界了吧，即公式的左边的证据的对数形式，右边为其下界。因此，我们有：

在使用变分推断时，首先需要计算的便是ELBO。从上面的公式可以看到，要计算ELBO，需要写出联合概率密度$p(z,x)$和$q(z)$。

在写出这两个式子之后，带入ELBO公式，分别求对数。之后，分别求期望。在期望计算完之后，针对具体的变分参数，求偏导，并令偏导为0，即可得到变分参数的更新公式。

在实际公式推导过程中，关键点就在于如何求期望。其计算期望往往需要用到指数分布族的性质，即可以将期望计算转化成求导计算。关于指数分布族的介绍读者可以参考我的另外一篇博客：
https://qianyang-hfut.blog.csdn.net/article/details/87247363

案例

高斯混合模型

第一个案例为，高斯混合模型。详细的介绍可参考我的另外一篇博客，该博客也提供了Python代码：
https://qianyang-hfut.blog.csdn.net/article/details/86694325
其模型的生成过程为：

LDA

在LDA模型中，需要计算下界：

其中，

关于联合概率分布可以表示为：

基于平均场原理：

写出这两个式子之后，可以求其期望。这个中间步骤还是很繁琐的。最后，可以得到变分参数的更新公式：

参考文献

[1] Blei D M, Kucukelbir A, McAuliffe J D. Variational inference: A review for statisticians[J]. Journal of the American Statistical Association, 2017, 112(518): 859-877.
[2]Kurihara K, Welling M, Teh Y W. Collapsed Variational Dirichlet Process Mixture Models[C]//IJCAI. 2007, 7: 2796-2801.