图论专题整理
主要是将各种算法简单整理了一下，对于算法的具体原理没有过于深入的讲解。
最小生成树（MST）：
给定一个n个节点的连通图，它的生成树就是原图的一个子图，它包含了原图的n个点和n-1条边。
最小生成树就是权值和最小的生成树。
kruskal算法求最小生成树：
- 将原图的边按权值
由小到大排序。 - 依次考虑所有的边i，如果i的两端点u，v还没有连通，则将i加入最小生成树并将u，v标记为连通，否则抛弃i。
节点的连通性用并查集来维护。
代码模板：
#include 练习：
poj1251 Jungle Roads 【解题报告】
CodeForces 472D Design Tutorial: Inverse the Problem 【解题报告】
poj1789 Truck History 【解题报告】
poj1639 Picnic Planning
（顶点度数限制的MST） 【解题报告】
最短路：
单源的SPFA算法：
spfa可以求从源点s到其他所有点的最短路。
spfa可以处理有负权的边，但是不能处理负环。
流程：
记从源点s到点v的最短路为dist[v]，
dist数组初始为无穷大，dist[s]=0。
vis数组表示点是否在队列中
将源点入队，vis[s]=1
依次取队首元素u，考虑u连接的所有节点v
如果dist[u] + w[u][v] < dist[v]，则更新dist[v] = dist[u] + w[u][v]，如果vis[v]==false则将v入队。在可能有负环的题目中，还要用一个cnt数组记录每个点的入队次数，如果某个点入队次数大于节点总数n，则说明有负环。
代码模板（邻接表）：
#include spfa算法的复杂度是O(k|E|)，k是一个常数，一般为2或3
任意两点最短路的floyd算法：
floyd算法可以在O(n3)的时间里计算出任意两点之间的最短路。
原理很好理解，直接贴关键部分代码：
for (int k = 1; k <= n; k++) // 注意k一定在最外层循环
for (int i = 1; i <= n; i++)
for (int j = 1; j <= n; j++)
dist[i][j] = min(dist[i][j], dist[i][k] + dist[k][j]);练习：
poj1062 昂贵的聘礼 【解题报告】
poj1847 Tram 【解题报告】
poj1797 Heavy Transportation
SPFA变形 【解题报告】poj1724 ROADS
SPFA+A* 【解题报告】poj1125 Stockbroker Grapevine
floyd 【解题报告】poj1275 Cashier Employment
差分约束 【解题报告】poj1716 Integer Intervals
差分约束 【解题报告】
二分图匹配：
二分图：如果无向图G=(V, E)的顶点集V可以分成两个不相交的子集A和B，
且G中的每一条边的两个端点（u，v）分别在两个子集中（u∈A，v∈B），则称G为二分图。
二分图的性质：
最小点覆盖=最大匹配数
最小路径覆盖=总节点数-最大匹配数
最大独立集=顶点数-最大匹配数
最大匹配的匈牙利算法：
最大匹配：给定一个二分图G，M是G边集的一个子集，如果M满足当中的任意两条边都不依附于同一个顶点，则称M是一个匹配。
图中包含边数最多的匹配称为图的最大匹配。
匈牙利算法：
就是不断dfs寻找增广路，并增加匹配个数。
增广路是一条“交错路径”，即起点和终点都是未匹配点，而路径经过的边是未匹配-匹配-未匹配这样交替出现。
可见，增广路有奇数条边，未匹配边比匹配边多一条。此时将所有未匹配边变为匹配边，匹配边变为未匹配边，匹配仍然成立，而匹配数+1。
代码模板：
#include 练习：
poj1325 Machine Schedule
最小点覆盖 【解题报告】poj3041 Asteroids
最小点覆盖 【解题报告】poj2060 Taxi Cab Scheme
最小路径覆盖 【解题报告】poj1466 Girls and Boys
最大独立集 【解题报告】poj1486 Sorting Slides
二分图匹配的必须边 【解题报告】
带权值的二分图匹配的KM算法：
如果给定的二分图是带权值的，并且要求匹配的权值和最大（最小），就要用到KM算法。
代码模板（最小权值匹配，注释中的是最大权值匹配）：
#include 练习：
poj2195 Going Home
最小权值匹配 【解题报告】poj2516 Minimum Cost
拆点+最小权值匹配 【解题报告】poj3686 The Windy’s
最小权值匹配 【解题报告】
网络流：
最大流的dinic算法：
先介绍层次图的概念：
层次图，就是把原图中的点按照点到源的距离分“层”，只保留不同层之间的边的图。
算法流程：
- 根据残量网络计算层次图。
- 在层次图中使用DFS进行增广直到不存在增广路。
- 重复以上步骤直到无法增广。
代码模板：
#include 练习：
poj1087 A Plug for UNIX
思路：最大流 【解题报告】poj1459 Power Network
思路：最大流 【解题报告】poj2391 Ombrophobic Bovines
思路：二分+拆点+网络流 【解题报告】poj2455 Secret Milking Machine
思路：二分+网络流 【解题报告】poj2987 Firing
思路：最大权闭合图 【解题报告】NOI2006 最大获利
思路：最大权闭合图 【解题报告】
最小费用最大流：
如果网络中的每条边都有一个花费，在保证流量最大时，还要求花费最少，这就是最小费用最大流（费用流）问题。
代码模板：
#include 练习：
poj3422 Kaka’s Matrix Travels
思路：拆点+费用流 【解题报告】spoj371 Boxes
思路：费用流 【解题报告】
强连通分量：
强连通分量：
有向图G中，如果两个顶点u, v间有一条从u到v的有向路径，同时还有一条从v到u的有向路径，则称两个顶点强连通。如果有向图G的每两个顶点都强连通，称G是一个强连通图。有向图的极大强连通子图，称为强连通分量。简单来说就是G’是G的一个子图，对于G’中的所有点V’，两两互相可以到达，就说G’是G的一个强连通分量。
Tarjan算法：
- 对图进行dfs，将遍历到的节点压入栈中。
- 设dfn[u]为节点u的搜索的次序编号，low[u]为节点u或u的子树能够追溯到的最早的栈中节点的次序号。
- 当DFN(u)=Low(u)时，以u为根的搜索子树上所有节点是一个强连通分量。此时依次弹出栈中元素直到v=u。
代码模板：
int dfs(int u) {
stack.push(u);
vis[u] = 1;
++cnt;
low[u] = dfn[u] = cnt;
for (int j = 0; j < lin[u].size(); j++) {
int v = lin[u][j];
if (!dfn[v]) {
dfs(v);
low[u] = min(low[u], low[v]);
} else if (vis[v]) {
low[u] = min(low[u], dfn[v]);
}
}
if (low[u] == dfn[u]) {
int t;
num++;
do {
t = stack.top();
col[t] = num;
stack.pop();
vis[t] = 0;
}
while (t != u);
}
}练习：
poj1904 King’s Quest
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