"按位取反加一"的新理解——在FFT频分析后如何获得其频率分量

 

一、“取反加一”的新理解

在前面的两篇博文中分别讨论的“取反加一”的两个作用。（取反加一应该是按位取反加一，下同）

第一个应用：在博文《如何计算一个有符号数的补码表示？》 （链接http://blog.csdn.net/jbb0523/article/details/6668237）

提到了：若想求一个负数的补码，则对其绝对值进行“取反加一”即可；

第二个应用：在博文《知道某负数补码后如何计算其绝对值？》（链接http://blog.csdn.net/jbb0523/article/details/6692747）

提到了：基想求一个负数的绝对值，则对其“取反加一”即可；

什么叫补码？补码就是负数在计算机中的表示。

在第一个应用中，对负数的绝对值取反加一得到其在计算机中的存储格式，实际上即对正数“取反加一”即可得到与其对应的负数；

在第二个应用中，对负数取反加一得到其绝对值，实际是即对负数“取反加一”即可得到与其对应的正数；

综合以上两点，在计算机中，对一个数进行“取反加一”操作，即对其乘“-1”，即得到相反数。

 

二、在FFT频谱分析后如何获得其频率分量值？

在博文《有关在matlab中对信号采样及频谱的一些解释；复数的频谱，高分辨率谱，高密度谱的一些理解 》（链接http://blog.csdn.net/jbb0523/article/details/7283847）

提到了一个性质，现重述如下：

对于信号s(t)=cos(2*pi*f*t)-j*sin(2*pi*f*t)，对其进行符合奈奎斯特采样定理的采样，设采样率为fs，采样点数为N，得到数字信号s(n),n=[0,…,N-1]，则对s(n)做DFT变换进行谱分析后得到S(k),k=[0,…,N-1]。观察S(k)的幅度谱，若k=0~N/2-1之间有峰值，则s(t)的频率f在-fs/2~0之间；若k=N/2~N-1之间有峰值，则s(t)的频率f在0~fs/2之间；并且有且只有一个峰值。

计算公式如下：设幅度谱峰值当k=k1时出现，则s(t)的频率为：

 

现在我们假设场景如下：我们得到了信号s(t)，我们要知道它的频率f，我们可以对其进行fft运算，然后按照如上公式进行计算得到f，但是上面的公式是一个分段函数，这会给我们的计算带来一定的复杂性，下面阐述一种较为简单的方法。

我们假设N=128，用7bit表示；

那么k1的范围是0~127，如果将k1看成是有符号数，则其范围是0~63和-64~-1；

若对公式变形如下：

说到这儿，有一个性质要明白：对于一组使用n bit进行存储数据来说，如果将其当成无符号数来看，那么它的范围是0~2^n-1；但如果将其当成有符号数来看，那么它的范围是-2^(n-1)~2^(n-1)-1，其中0~2^(n-1)-1仍对应0~2^(n-1)-1，但2^(n-1)~2^n-1则对应-2^(n-1)~-1；其实转换关系也可是这样理解，对前一半的数它是不变的，因为它的最高位是0，因此是正数，这个大家都明白，但对于后一半的数，由于最高位是1，则它们是负数，转换关系是signed=unsigned-2^n；

因此对于N=7来说，它的无符号范围是0~127，而它的有符号范围是-64~63，其中-64~-1对应64~127，即64~127对应64-128~127-128；

 

如果我们将k1视为一个有符号数，则上面的公式可以变形为：

因此，实际上f=fs/N*(-k1)，这就好办多了，将一个分段函数变成了一个函数表式。

 

我们若要求频率f，则对信号s(t)进行FFT后，找到峰值对应的位置，将其值视为有符号数，取其相反数，然后乘以fs/N即可，这样做是不是简便了很多了？

 

今天先分析到这儿，啥时候有了新的体会再继续……