分治-寻找第k小的数

给定线性序集中n个元素和一个整数k，1≤k≤n，要求找出这n个元素中第k小的元素

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Type RandomizedSelect(Type a[],int p,int r,int k)
{
      if (p==r) return a[p];
      int i=RandomizedPartition(a,p,r),
      j=i-p+1;
      if (k<=j) return RandomizedSelect(a,p,i,k);
      else return RandomizedSelect(a,i+1,r,k-j);
}

在最坏情况下，算法randomizedSelect需要O(n2)计算时间

但可以证明，算法randomizedSelect可以在O(n)平均时间内找出n个输入元素中的第k小元素。

如果能在线性时间内找到一个划分基准，使得按这个基准所划分出的2个子数组的长度都至少为原数组长度的ε倍(0<ε<1是某个正常数)，那么就可以在最坏情况下用O(n)时间完成选择任务。

例如，若 ε=9/10 ，算法递归调用所产生的子数组的长度至少缩短 1/10 。所以，在最坏情况下，算法所需的计算时间 T(n) 满足递归式 T(n)≤T(9n/10)+O(n) 。由此可得 T(n)=O(n)

l将n个输入元素划分成én/5ù个组，每组5个元素，只可能有一个组不是5个元素。用任意一种排序算法，将每组中的元素排好序，并取出每组的中位数，共én/5ù个。

l递归调用select来找出这én/5ù个元素的中位数。如果én/5ù是偶数，就找它的2个中位数中较大的一个。以这个元素作为划分基准。

Type Select(Type a[], int p, int r, int k)
{
      if (r-p<75) {
        用某个简单排序算法对数组a[p:r]排序;
        return a[p+k-1];
        };
      for ( int i = 0; i<=(r-p-4)/5; i++ )
         将a[p+5*i]至a[p+5*i+4]的第3小元素
         与a[p+i]交换位置;
      //找中位数的中位数，r-p-4即上面所说的n-5
      Type x = Select(a, p, p+(r-p-4)/5, (r-p-4)/10);
      int i=Partition(a,p,r, x),
      j=i-p+1;
      if (k<=j) return Select(a,p,i,k);
      else return Select(a,i+1,r,k-j);
}

上述算法将每一组的大小定为5，并选取75作为是否作递归调用的分界点。这2点保证了T(n)的递归式中2个自变量之和n/5+3n/4=19n/20=εn，0<ε<1。这是使T(n)=O(n)的关键之处。当然，除了5和75之外，还有其他选择。

T(n)=O(n)