拓展欧几里德
各位大佬，转载必须注明一下博客，自己写的不容易。/流眼泪
一 引例：
求两个数的gcd（a,b）=a和b两个数的最大公倍数?
-
短除法
-
更相减损法
-
辗转相除法
1、短除法：
百度百科——短除法
其实短除法的核心 唯一分解定理。我们要求的最大公约数，其实也是它本身的一部分因子。
复杂度 
注意：K=gcd(n,m)这个数的因子个数。
百度百科——唯一分解定理
我们演示一遍即可。
2、更相减损术：
百度百科——更相减损术
这个方法是来自我国数学：《九章算术》可以求最大公约数。
复杂度：O(N)
3、辗转相除法：（欧几里德）
百度百科——辗转相除法
复杂度： 
图像 小部件
贴上代码：以上三种方法的使用。
#include
using namespace std;
void DC(){
int a=888,b=664,gcd=1;
while(1){
int flag=0;
for(int i=2;i<=min(a,b);i++){
if(a%i==0&&b%i==0){
gcd*=i;
a/=i,b/=i;
flag=1;
break;
}
}
if(flag==0){ //两者为互质
break;
}
}
printf("最大公约数：gcd(664,888)=%d\n",gcd);
printf("最小公倍数：lcm(664,888)=%d\n",gcd*a*b);
}
void XJ(){ //更相减损术
int a=888,b=664,temp=0,cnt=0;
while(a-b!=0){
//printf("%d %d %d\n",a,b,temp);
temp=a-b;
a=b;
b=temp;
if(a
二 拓展欧几里德：
上面提到了欧几里德，大家都看出来了，仅仅处理了一个小问题，就是计算一个最大公约数。
但是，这个计算公约数速度非常快，可以达到log级别的都是优质算法。
我们只是提及一下短除法和更相减损法，但是有时候面对小的数字，我们可以笔算一下这个最大公约数。
更多选择第一第二种。我们以后用的就是log级别的gcd来处理问题。
我们介绍一下通常拓展欧几里德给我们拓展了哪些问题。
-
求解 不定方程
-
求解 同余方程
-
求解 模的逆元
1.1 求解不定方程 引例
计算2809和6731的最小公倍数和最大公约数，并将两者的最大公约数表示成两者的线性组合？
——《离散数学》·张小峰 P25 第4小题。
1.2 、解题过程：
模拟辗转相除法：
6731=2809*2+1113
2809=1113*2+583
1113=583*1+530
583=530*1+53
530=53*10+0
上述过程就是辗转相除法。求得53是最大公因数。
然后我们需要求出 6731 和 2890 的关系。所以我们需要求出他们和最大公因数53的关系。
我们通过上面的式子倒推回去，不断表示两者中小的数字。
求特解过程：
53= 53 - 0
= 583 - 530
= 583 -（1113 - 583）=583*2 - 1113
=（2809 - 1113*2）*2-1113=2809*2 - 1113*5
= 2809*2 -（6731 - 2809*2）*5
= 12 * 2809 - 5 * 6731
通过倒推的过程大家其实意识到了，就是用上面的式子来操作，就好比辗转相除法的逆运算。
上面的推导过程就是拓展欧几里德求解 最小解 x, y 的过程了。
1.2.1、在模拟辗转相除法的过程中发现：
最开始的a和b：被 b 和 a%b 所代替。（这个就辗转相除的核心）
每次辗转的都是除数和余数交替相除的过程。
被除数变成除数： 
除数变成余数： 
所以在公式推导过程有：
1.2.2、在求特解的过程中发现：
上面的式子可能有问题！！！
问题出现在哪里呢，我们发现，其实a,b在变化的过程中，系数x,y也会对应发生变化。
我们推导一下它的变化过程吧！！！
上面的过程中，a和b都是相同的，我们可以去掉下标。
移入一个求余数的公式：
代入得到：
因为我们需要得到x1=****x2 y1=*****y2;
这样的关系。所以我们用到了待定系数法(听着很炫，其实就是表示为 **a+**b的形式).
把对应a和b当作变量，把对应的系数相等起来得到：
我们现在推导出来了的东西进行运用。
1.2.3、再次回顾辗转相除法：
我们通过这个辗转相除法得到的就是一个公约数。
然后我们可以通过两个数 a,b来推导出一组关系来表示这个gcd（a，b）
求解其中的系数关系x,y。
下面式子关键是弄清楚辗转相除法的核心进行推导：
1.2.4、关键思想：
不断用上一个式子的除数和余数来交替表示式子中的被除数 a 和除数 b
(你要是问我为什么会这样能弄出来最大公约数，我真不知道，那要问问欧几里德) \逃
a x1 + b y1 = gcd(a,b)
b x2 + ( a % b ) y2 = gcd( b , a % b )
………………………………
第n次辗转后——求到最大公约数时：
n *1 + 0 * 0 = gcd(a,b)
这个过程解释清楚了吧！！！这里挺难理解的，就是辗转到最后，
突然发现没有余数了，那么就说明这个 上一个式子的除数 n=gcd（a,b）
我们已经求出来了，并且我们能确保当前位置的 xn=1,yn=0;
我们刚才不是推导了吗？
x1，y1 是上一个式子，x2，y2代表是下一个式子。
我们不就是进行回溯过去不断用式子来表示 x1,y1。
最后回溯到最开始的 a,b不就是我们想要求出来的答案吗！！！
1.2.5、代码表示过程：
#include
int exgcd(int a,int b,int &x,int &y){//返回的是最大公约数.
//此时 a,b代表的是上一个式子的除数和余数
if(b==0){//余数为0
x=1;
y=0;
return a;
}
int r=exgcd(b,a%b,y,x);//递归求解gcd(a,b);
y=y-a/b*x;//不要在乎细节，这里就是x,y的值调换，公式还是那样.
return r; //别忘了这一句，不然得不到最大公约数
}
int main(){
int x,y,a=6731,b=2809;
int gcd=exgcd(a,b,x,y);
printf("%d = (%d)*%d + (%d)*%d",gcd,x,a,y,b);
}
1.2.6、运行结果：
1.3、再次回顾ax+by=c:
1.3.1、求特解:
上面说的，只能解决一个式子：那就是：ax+by=gcd(a,b)
大家思考一下，其实ax+by=c可能没有解。
那就是 c%gcd(a,b)!=0
这就是我们解决这个式子的第一步！！！
第一步：
通过c%gcd(a,b)==0来判断是否有通解。
第二步：
求解满足ax+by=c的一组特解
若有通解的情况下，代入上面的代码我们解出来的一个x0，y0只是符合ax+by=gcd(a,b)
但 不是我们题目要求的ax+by=c的方程的根。
聪明如你是否想到了？？？？
因为判断通解的过程就说明这个c一定是gcd(a,b)倍数关系。
所以我们求解的过程可以弯曲一下。
已知：
凑一下：
再看看已知：我们就可以得出一组特解：
得出：
1.3.2、求多组整数解：
我们其实知道这样的二元一次方程组，可以有很多解。
那么我们怎么做才行呢？？？？
一个字就是： 凑！！！！！！
我们想一下，其他解是怎样的形式！！！
其中(x1,y1是上面)
为了保持左边的值等于右边，我们凑一下出来了；
？？？满足：在a*???+b*???=0；
那么我们用gcd(a,b)作分母，只要分子有另一方的倍数即可。
所以有：
一个词总结再好不过：彼消此长
1.3.3、求最小正整数解 ：(x or y)
通过上面的此消彼长.
只要我们让x的不断减少，当减少到负数，那么上一次的x的必定是最小正整数解。
其实我们可以用for循环历遍。
不妨设：
只要满足：
后来发现这个最小正整数解不就是：
但是注意细节：（x1可能为负数）
还要注意：（a,b,c可能为负数，使得 t 为负数）
到时候还会补充逆元，同余方程等数论知识！！！！