hdu
好久没写数论函数题了，上一次写还是在纪中学min25筛的时候了，赶紧来一道补下手感
题面：求
\[ \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^igcd(i^a-j^a,i^b-j^b)[gcd(i,j)=1] \]
保证\(n,a,b\leq 10^9,gcd(a,b)=1\)
知道\((i^a-j^a)\)这个玩意因式分解后有\((i-j)\)，不妨大力猜一下\(gcd(i^a-j^a,i^b-j^b)=i-j\)，证明明天再补
那么\[ \begin{aligned} 原式=&\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^i(i-j)[gcd(i,j)=1]\\ =&\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^i(i-j)\sum_{d|gcd(i,j)}\mu(d)\\ =&\sum_{d=1}^n\mu(d)d\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}\sum_{j=1}^ii-j\\ \end{aligned} \]
后面那个你拿平方和公式算一下应该有\(\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^ii-j=\frac{n^3-n}{6}\),前面那一部分就是\(\mu·id\)，卷上\(id\)之后就是\(\epsilon\),杜教筛直接求
感觉我回忆杜教筛的时间都比前面推导的时间长。。。
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