HDU5528 Count a b(欧拉函数&数的分解)

HDU5528 Count a * b(欧拉函数&数的分解)

题目大意

设$f(n)$为小于n的a，b使得有$a\times bmodn≠0$的a，b的组数。现定义$g(n)={\sum }_{d|n}f(d)$,现给出n求g(n)

解题思路

$$\begin{gathered} f(n)=n\ast n-\sum _{i=0}^{n-1}\sum _{j=0}^{n-1}n|(i\ast j) \\ =n\ast n-\sum _{i=0}^{n-1}\sum _{j=0}^{n-1}\frac{n}{gcd(n,i)}|(\frac{i}{gcd(n,i)}\ast j) \\ =n\ast n-\sum _{i=0}^{n-1}\sum _{j=0}^{n-1}\frac{n}{gcd(n,i)}|j \\ =n\ast n-\sum _{i=0}^{n-1}gcd(n,i) \end{gathered}$$

此时需要用到一个常用套路${\sum }_{i=1}^{n}gcd(n,i)={\sum }_{d|n}d\phi (\frac{n}{d})$

那么原式就可以化成
$$=n\ast n-\sum _{d|n}d\phi (\frac{n}{d})$$
将$f(n)$带入
$$\begin{gathered} g(n)=\sum _{d|n}{d}^2-\sum _{d|n}\sum _{i|d}i\phi (\frac{d}{i}) \\ =\sum _{d|n}{d}^2-\sum _{i|n}i\sum _{i|d\&d|n}\phi (\frac{d}{i}) \\ =\sum _{d|n}{d}^2-\sum _{i|n}i\sum _{k|\frac{n}{i}}\phi (k) \end{gathered}$$
此时需要用到欧拉函数的一个性质
$$\sum _{d|n}\phi (d)=n$$
原式就可以换成
$$\begin{gathered} =\sum _{d|n}{d}^2-\sum _{i|n}i\frac{n}{i} \\ =\sum _{d|n}{d}^2-\sum _{i|n}n \end{gathered}$$
接下来分解因数即可。本题时限卡得比较严格，分解时需要先处理出质数，再做质因数分解

AC代码

#include
using namespace std;
typedef unsigned long long ULL;
typedef pair<int,int> pii;
const int maxn=sqrt(1e9)+1;
int tot=0;
pii pri[100];
ULL ans=0;
int cnt=0;
int tots=0;
int prime[maxn];
bool p[maxn];
void init()
{
	memset(p,1,sizeof(p));
	for(int i=2;i<maxn;i++)
	{
		if(p[i]) prime[tots++]=i;
		for(int j=0;j<tots&&prime[j]*i<maxn;j++)
		{
			p[prime[j]*i]=false;
			if(i%prime[j])break;
		}
	}
}
void dfs(int x,ULL y)
{
	if(x==tot)
	{
		ans=ans+y*y;
		return ;
	}
	dfs(x+1,y);
	for(int j=1;j<=pri[x].second;j++)
	{
		y=y*pri[x].first;
		dfs(x+1,y);
	}
}
void solve(int n)
{
	int tol=0;
	ans=0;cnt=1;
	tot=0;
	int temp=n;
	for(int i=0;prime[i]*prime[i]<=n&&i<tots;i++)
	{
		if(n%prime[i]==0)
		{
			tol=0;
			do n/=prime[i],tol++;
			while(n%prime[i]==0);
			cnt=cnt*(tol+1);
			pri[tot++]=pii(prime[i],tol);
		}
	}
	if(n!=1) pri[tot++]=pii(n,1),cnt=cnt*2;
	dfs(0,1);
	ans=ans-1ULL*cnt*temp;
}
int main()
{
	int t;
	scanf("%d",&t);
	int n;
	init();
	while(t--)
	{
		scanf("%d",&n);
		solve(n);
		printf("%llu\n",ans);
	}
	return 0;
}