Burnside引理和polay计数学习笔记

首先提出一个问题，在一个2*2的矩阵里染色，旋转后相同算作一种，问有多少种染色方法。

显然穷举有那么多种，然后发现，（3，4，5，6）是同一种，（7，8，9，10）是一种，（11，12）是一种，（13，14，15，16），1是一种，2是一种。

发现，颜色少的时候，格子少的时候还是很容易枚举的，但是当问题规模大的时候，计算起来就会比较麻烦。

所以我们要来介绍一下Burnside定理和polay计数。

首先是Burnside定理，介绍之前，首先介绍几个概念。

一。置换群 G ，即所有的置换。以上面的为例子，置换一共有4种—旋转0度，旋转90度，旋转180度，旋转270度。所以 |G|=4

二。第二个概念， Zk 对于每个元素K，这里的K满足 1<=k<=16 , G 中使得K保持不变的置换全体。

eg. Z1={g1,g2,g3,g4}

Z11={g1,g3}

三。第三个概念， Ek 对于每个元素k，在四种置换下依次得到G下的转换的编号。

eg. E1={1} , E2={3,4,5,6}

没一个 Ei 其实就是一个等价类。

根绝上述定义，很容易得到一个公式：

|Ek|∗|Zk|=|G|

PS: |Ek| 是第k个元素，在四种变换下能形成的种数。

|Zk| k在|G|种置换下保持不变的个数。

G 表示置换种数

四。接着我们引出第四个概念。 D(gi) 表示在第i种置换下，没发生变换的元素个数

D(g1)=16,D(g2)=2,D(g3)=4,D(g4)=2

举例说就是在第一种置换下，16个元素都不会发生变化，在第二种置换下，1和2元素不会发生变化。

显然有个公式 ∑16j=1|Zj|=∑4i=1D(gi)

那么我们下面来进行最后的公式推导。

n=∑Li=1|Ei| ps.L个等价类

∑nj=1|Zj|=∑Li=1∑j∈E|Zj|=∑Li=1|Ei|∗|Zi|=L∗|G|

又因为 ∑16j=1|Zj|=∑4i=1D(gi)

所以推出了我们著名的Burnside定理：

L=1|G|∗∑i=1|G|D(gi)

这就是著名的Burnside定理。 第一步求出所有的置换。第二步求出所有置换下，不变元素个数。所最开始的例子。ans=(16+2+4+2)/4=6.但是我们发现这个的第二部比较难求。所以我们接下来介绍polay计数法。

polay定理

首先先介绍一个概念—循环节。

观看下一组置换 (1,2,3,4,5)−>(3,5,1,4,2)

他的循环节是 (13)(25)(4) ,所以循环节长度是3，两个循环节是不想交的。

记上个问题按逆时针将四个格子放上1，2，3，4。

然后 G={g1,g2,g3,g4},|G|=4 ,g_i 的循环节个数记为c，则有下述情况

g1 旋转0度： g1=(1)(2)(3)(4)c(g1)=4

g2 旋转90度： g2=(4321)c(g2)=1

g3 旋转180度： g3=(13)(24)c(g3)=2

g4 旋转270度： g4=(1234)c(g4)=1

我们发现， gi 的同一个置换节中的元素用同一种颜色（现在可以用m种颜色，最初的样例是m=2）则染色得到的方案数 mc[i] 就是在上面 gi 置换下不变的元素个数

2c(g1)=24=16=D(g1)

2c(g2)=21=2=D(g2)

2c(g3)=22=4=D(g3)

2c(g4)=21=2=D(g4)

最后就可以得到著名的polay公式。

L=1|G|∗∑1|G|mc(gi)

至于如何使用这个定理，我们只需要找到每个置换的循环节即可。