基于扩展欧几里得的证明的个人理解

     扩展欧几里德算法是用来在已知a, b求解一组整数解(x，y)使得ax+by=gcd(a,b)，这个方程一定有解，记d=gcd(a,b)，a=d*a'，b=d*b'，那么必须有d/b，否则方程变为a'x+b'y=b/d，左边是整数，右边却不是，这样就无解了。

   C++实现：

        int gcd(int a, int b, int &x, int &y)
　　{
    　　if(b == 0)
    　　{
        　　x = 1;
        　　y = 0;
       　　 return a;
    　　}
    　　int r = gcd(b, a % b, x, y);
    　　int t = x;
    　　x = y;
    　　y = t - a / b * y;
　　    return r;
　　}

  把这个实现和欧几里得的递归实现相比，发现多了x,y赋值过程，

  可以这样理解：

  因为(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的，对于a' = b，b' = a % b 而言，我们求得 x, y使得 a'x + b'y = gcd(a', b')

  而b' = a % b = a - a / b * b，代入方程有：

 a'x + b'y = gcd(a', b') ==>
 bx + (a - a / b * b)y = gcd(a', b') = gcd(a, b) ==>
 ay +b(x - a / b*y) = gcd(a, b)

 这样a，b对应的x，y分别是y，x-a/b*y。

 上面方程ax+by=gcd(a,b)只求出了一组解(x1,y1)，如果c%gcd(a,b)==0,那么只要方程两边同时扩大c/gcd(a,b）倍即可，也就是说原方程a*x+b*y=c的一个特解是(x1*c/gcd(a,b), y1*c/gcd(a,b))，那么其他解呢？任取另外一组解(x2,y2)，则ax1+by1=ax2+by2，变形得a(x1-x2)=b(y2-y1)。记gcd(a,b)=d，方程左右两边同时除以d，得

a'(x1-x2)=b'(y2-y1)，其中a'=a/d,b'=b/d。而此时a'和b'互素，因此x1-x2一定是b'的整数倍，则y2-y1=ka'。

于是得出结论：若方程ax+by=c的一组整数解为(x0,y0)，则它的任意整数解可以写成(x0+kb',y0-ka')，a'=a/gcd(a,b)，b'=b/gcd(a,b)，k 为任意整数。