树状数组（求逆序对）

一、树状数组是什么

树状数组，又称二进制索引树，英文名Binary Indexed Tree

之前遇到一个求逆序对的题，看了很多题解都只说了这个树状数组，关于怎么实现的全都避而不谈，我研究了一下午，总算搞出个头绪了

一般用来求前缀和，可以把时间复杂度从O（n）降到O（log10 n）非常恐怖，举个例子，假如我们要求从1~1000的前缀和，普通方法需要遍历1000次，而树状数组只需要遍历5次，

先上图；

又称二进制索引树的几个特点：

1. 底部确定，顶部无穷大
2. 最外面的结点是2的n次方，如上图1，2，4，8的结点
3. 奇数的结点一定是叶子结点
4. 数组一定要从1开始

 

图中每一个非叶子节点都代表一个区间的和，

a[4]代表的是a[1]+a[2]+a[3]+a[4]，

a[5]就是自己a[5]

例如我们需要求1~11的和，我们就只需要求出a[11] ,a[10] ,a[8]的和，

同样的，假如求1~1000的和，那么只需要求a[1000] ,a[992] ,a[960], a[896], a[768]，a[512]的和，

可以看出每次最后的一个结点必定是2的次方

因为只需要跳到最外面的一个结点就不需要在往下求了，而最外面的结点一定是2的n次方，不懂得可以根据那个图模拟一下。

 

二、树状数组怎么实现：

lowbit：

int lowbit(int x)
{
	return x&-x;
}

 

相信很多童鞋看到这个东西都是一脸懵逼，而我就不一样了，我TM是十脸懵逼，那让我们来推测一下：

首先根据英语意思理解，low就是低，bit就是位，连起来就是最低位，其实就是求的一个数的二进制的第一个1的位置，

比如6，它的二进制：0110，从右往左第一个1的位置是1（从零开始），那么lowbit（6）就等于2的1次方就等于2，

再比如9，它的二进制：1001，从右往左第一个1的位置是0，那么lowbit（6）就等于2的0次方就等于1，

 

我们再来看一下实现原理：

x&-x到底是个什么玩意

要知道，二进制数的负数是正数取反加一，那么-6就是1010，-6&6 就是 1010 & 0110==0010，换算成十进制就是2，所以lowbit（6）==2

 

现在实现原理知道了，那么这玩意跟树状数组有什么关系，请听下回讲解：

lowbit（x）是用来跳到x的下一个结点或者上一个结点的的介质，

比如lowbit（6）==2，那么上一个结点就是6-lowbit（6）==4，下一个结点是是6+lowbit（6）==8，可以看一下上面的那个图

这里说的上一个结点不是父节点，而是你要求的前缀和的管辖区间的结点，比如我们要求1~6的和：

1. 首先x=6，sum+=a[6]，上图中a[6]代表的是a[5]+a[6]
2. x=6-lowbit（6）==4，sum+=a[4]，a[4]代表的是a[1]+a[2]+a[3]+a[4]
3. x=4-lowbit（4）==0，0小于1不符合条件了，退出

此时sum==[1]+a[2]+a[3]+a[4]+a[5]+a[6]，是不是很完美

 

如果我们要更新某一个点的值，那么所有把这个点包含在内的区间结点都需要更新，比如我们要使a[6]+1:

1. 首先x=6，a[6]++
2. x=6+lowbit(6)==8，a[8]++
3. x=8+lowbit(8)==16, a[16]++
4. .........直到x>n,（n是整个序列的长度）

由于这个树是没有上界的，题目一般都会给出一个序列的长度为n

 

是不是感觉很强大，我只能这样说明它，不懂怎么证明它，感觉发明这些算法的人简直是个天才，正所谓那句话：社会是由百分之一的天才创造的，百分之九十九的人推动的，

关于为什么只能求前缀和，不能求区间和，可以仔细看一下上图很快就会明白，如果一旦到最外面的结点（2的n次方），那么x必定等于lowbit(x)，x-lowbit(x)必定等于0，就会跳出累加，而最外面的结点x，一定代表的是1~x的和，就是前缀和，如果求区间和只能拿右边界的前缀和减去左边界的前缀和了

但是这个结构还有一个缺点，就是a[8]代表的是a[1~8]的和，所以我们并不知道a[8]具体是多少，要避免这种情况，就需要另外开一个与原序列长度相同的数组 t，用来存放树，原数组不动，

根据上图，a数组是最下面的一排叶子结点，用 t 数组来存储除叶子结点的树，

细心的同学可以发现，树结点的序号都是偶数，奇数的叶子结点都是一个单独的区间

如果要查询区间和的话，只需要判断t中的这个结点是不是偶数或者是不是等于0，这里就不再bb了

 

怎么求逆序对

逆序对的定义：ia[j]

要求一个数组的逆序对，可以用归并排序的概念加一个累加就行，具体看这个例子https://blog.csdn.net/qq_41431457/article/details/88944840，我们这里主要介绍的是树状数组求逆序对

首先明白一个概念叫做离散化（Discretization）

在上面介绍的树状数组中，只需要开一个与原序列中最大元素相等的长度数组就行，那么如果我的序列是1，5，3，8，999，本来5个元素，却需要开到999这么大，造成了巨大的空间浪费，

离散化就是另开一个数组,d， d[i]用来存放第i大的数在原序列的什么位置，比如原序列a={5，3，4，2，1}，第一大就是5，他在a中的位是1，所以d[1]=1，同理d[2]=3，········所以d数组为{1，3，2，4，5}，

转换之后，空间复杂度就没这么高了，但不是求d中的逆序对了，而是求d中的正序对，来看一下怎么求的：

1. 首先把1放到树状数组t中，此时t只有一个数1，t中比1小的数没有，sum+=0
2. 再把3放到树状数组t中，此时t只有两个数1，3，比3小的数只有一个，sum+=1
3. 把2放到树状数组t中，此时t只有两个数1，2，3，比2小的数只有一个，sum+=1
4. 把4放到树状数组t中，此时t只有两个数1，2，3，4，比4小的数有三个，sum+=3
5. 把5放到树状数组t中，此时t只有两个数1，2，3，4，5，比5小的数有四个，sum+=4

最后算出来，总共有9个逆序对，可以手算一下原序列a，也是9个逆序对，

具体实现：

1. 另d[1]=1, d[2]=2········a[n]=n
2. 根据原数组a中的元素的大小进行排序

实现代码：

#include
#define M 500005
using namespace std;
int a[M],d[M],t[M],n;
//原数组/ 离散化后的数组/ 树状数组 
bool cmp(int x,int y)
{
	if(a[x]==a[y]) return x>y;//避免元素相同 
	return a[x]>a[y];//按照原序列第几大排列 
}
int mian()
{
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	cin>>a[i],d[i]=i;//初始化
	
	sort(d+1,d+n+1,cmp);
	//排序时候d就是离散化的数组了 

        return 0;
} 

 

离散化之后，就是求和了，

根据上面的步骤每一次把一个新的数x放进去之后，都要求比他小的元素有几个，而比他小的元素个数一定是1到x中存在数的个数，也就是[1 , x-1]中有几个数，是不是很耳熟，有点像之前讲的前缀和了，只不过树状数组t表是的不是前缀和了，t[x]表示的是[1,x]中有几个数已经存在，这样我们每次把一个新的数x放进去的时候，都需要把包含这个数的结点更新，然后查询[1,x-1]有几个数已经存在。

还是拿上一个例子：

1. 把1放进去，包含t[1]的结点t[1]++，t[2]++、t[4]++, 由于n==5，算到t[8]的时候就已经跳出，查询[1,1-1]中比他小的数为0
2. 把3放进去， 包含t[3]的结点t[3]++,  t[4]++  ，然后查询[1 , 3-1]中有几个数已经存在，t[2]==1, sum+=1，lowbit一发等于0跳出
3. 把2放进去， 包含t[2]的结点t[2]++,  t[4]++ ， 然后查询[1 , 2-1]中有几个数已经存在，t[1]==1, sum+=1，lowbit一发等于0跳出
4. 把4放进去，包含t[4]的结点t[4]++,   t[8]大于n 跳出， 查询[1 , 4-1]中有几个数已经存在，t[3]==1, sum+=1，lowbit一发t[2]==2，所以sum+=2
5. 把5放进去， 包含t[5]的结点t[5]++,   t[6]大于n跳出 ， 查询[1 , 5-1]中有几个数已经存在，t[4]==4, sum+=4，lowbit一发等于0跳出

最后答案就出来了，关键是要理解那句标了红色的那句话，不是前缀和，而是有几个数已经存在，假如a[8]等于4，那么就表示[1,8]中只有4个数存在。

完整代码：

#include
#define M 500005
using namespace std;
int a[M],d[M],t[M],n;
int lowbit(int x)
{
	return x&-x;
}
int add(int x)//把包含这个数的结点都更新 
{
	while(x<=n)//范围 
	{
		t[x]++;
		x+=lowbit(x);
	}
}
int sum(int x)//查询1~X有几个数加进去了 
{
	int res=0;
	while(x>=1)
	{	
		res+=t[x];
		x-=lowbit(x);
	}
	return res;
}
bool cmp(int x,int y)//离散化比较函数 
{
	if(a[x]==a[y]) return x>y;//避免元素相同 
	return a[x]>a[y];//按照原序列第几大排列 
}
int main()//402002139
{
	//freopen("in.txt","r",stdin);
	long long ans=0;
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	cin>>a[i],d[i]=i;
	
	sort(d+1,d+n+1,cmp);//离散化 
	
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		add(d[i]);//把这个数放进去 
		ans+=sum(d[i]-1);//累加 
	}
	cout<

求前缀和版本：

#include
#define lowbit(x) (x&-x)
using namespace std;

const int N = 1000;
int t[N<<2], n;

void add(int x, int id)
{
	for(int i = id; i <= n; i += lowbit(i))
	t[i] += x;
}

int sum(int id)
{
	int res = 0;
	for(int i = id; i > 0; i-= lowbit(i))
	res += t[i];
	
	return res;
}

int main()
{
	n = 10;
	for(int i = 1; i <= 10; i++)
	{
		int x;
		cin >> x;
		add(x, i);
	}
	
	while(1)
	{
		int x;
		cin >> x;
		cout << sum(x) << endl;
	}
	
	return 0;
}

不要以为那个while循环会执行很多次，就算x==1000，也只会遍历5次！！！，

天才创造了世界~

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