[KM算法/坤M算法] 二分图带权匹配
坤M算法有它的局限性：要求带权最大匹配一定是完备匹配
但是效率高啊：坤M算法 Θ ( n 3 ) \Theta(n^3) Θ(n3)，费用流 Θ ( 能 过 ) \Theta(能过) Θ(能过)
奇奇怪怪的定义：
- 顶标 顶点标记值，记左部 i i i节点顶标 A i A_i Ai，右部 j j j节点顶标 B j B_j Bj，满足 A i + B j ≥ w i ↔ j A_i+B_j\geq w_{i\leftrightarrow j} Ai+Bj≥wi↔j
- 交错树 从左部节点出发寻找匹配失败，DFS过程中访问的所有节点构成交错树
交错树层与层之间的边以匹配边与非匹配边的形式交错出现 - 相等子图 ∑ i ∈ S A , j ∈ S B A i + B j = ∑ i ∈ S A , j ∈ S B w i ↔ j \sum_{i\in S_A,j\in S_B}A_i+B_j=\sum_{i\in S_A,j\in S_B}w_{i\leftrightarrow j} ∑i∈SA,j∈SBAi+Bj=∑i∈SA,j∈SBwi↔j
结论：当每个相等子图完备匹配时，二分图有最大匹配
证明：对于二分图 ∑ i ∈ S A , j ∈ S B A i + B j ≥ ∑ i ∈ S A , j ∈ S B w i ↔ j \sum_{i\in S_A,j\in S_B}A_i+B_j\geq\sum_{i\in S_A,j\in S_B}w_{i\leftrightarrow j} ∑i∈SA,j∈SBAi+Bj≥∑i∈SA,j∈SBwi↔j，而现在边权和已经抵到最大值即顶标之和了，不能再大
算法：
分配顶标，左部令为边权（ A i = max { w i ↔ j } A_i=\max\{w_{i\leftrightarrow j}\} Ai=max{wi↔j}），右部令为零
修改顶标，找不到相等子图的时候就修改
修改顶标时不会改变现有匹配的权值，算法具有正确性
修改顶标直到找到完备匹配
考虑修改顶标
发现DFS时左部到右部走的都是非匹配边，右部到左部走的都是匹配边
而走匹配边无需修改顶标
考虑走非匹配边的修改顶标
若从左部点走到右部点，以前能访问，现在仍能访问，则修改没有作用
而若以前右部点不在匹配（记为 T T T）中，现在在，则需要考虑加入此边
即在左部点 i ∈ T i\in T i∈T，右部点 j ∉ T j\notin T j∈/T（可能是众点中的一个），加入这条边，构造出相等子图的边 A i + B j = w i ↔ j A_i+B_j=w_{i\leftrightarrow j} Ai+Bj=wi↔j
而原来 A i + B j ≥ w i ↔ j A_i+B_j\geq w_{i\leftrightarrow j} Ai+Bj≥wi↔j，因此减少 A i + B j − w i ↔ j A_i+B_j-w_{i\leftrightarrow j} Ai+Bj−wi↔j，且要求它最小
注意，改变值的是交错树中顶标，非交错树中的顶标不变
板题
不知为何会WA但是是照着标程打的代码
#include优秀的BFS不想码了
这DFS就够恶心了
再加上我看不懂yyr巨巨的代码
好吧，坤M就是这样