hdu6432 Problem G. Cyclic(容斥原理)

题目

给你一个n，问n的圆排列中，

不包含[i,(i+1)%n]的方案数是多少

答案%998244353

思路来源

https://blog.csdn.net/qq_37025443/article/details/82018108（容斥）

https://blog.csdn.net/zero___zero/article/details/81951273（递推）

OEIS

题解

至少一对[i,i+1]或[n,1]的圆排列方案数是

考虑要选一个数当i，，这样(i+1)%n也被确定了，先把这两个数安在圆上

这个圆还有(n-2)个位置，剩下的随便放，所以……

 

线性排列的话，可以理解成把i和i+1合并成一个元素，

线性排列有(n-1)!个排列，

对于某一个线性排列，其任意一个元素当第一个都是一个新的排列，这样一个线性排列就能构造出(n-1)个排列

但在圆排列中这(n-1)个排列是一样的，所以是(n-2)!

 

然后又由于至少0对（就是有没有都可以）的圆排列方案数是(n-1)!

恰好符合的归纳，这样就可以归纳出……

至少有k对的圆排列方案数是

具体操作过程等价于选k个连续的数（此处n和1视为连续），

然后第k+1个数就定了，然后剩下的随便排搞一搞……

严格证明k的情况我也不会证QAQ

 

另外注意到k=n时，一个严格单增的序列对答案有1的贡献，

然后容斥原理是用总数-(奇加偶减)，注意到总数是偶数0的情形

所以答案直接就是奇减偶加。

所以如果补充定义(-1)!=1的话，答案应该是

写起来方便的写法是

心得

我容斥原理&&组合数学真的差的一比……

算了，无差别补题，补上就好了……

代码

#include
#include
#include
#include
using namespace std;
typedef long long ll;
const int mod=998244353; 
const int maxn=1e5;
ll Finv[maxn+5],jc[maxn+5];
ll modpow(ll x,ll n,ll mod)
{
	ll res=1;
	for(;n;x=x*x%mod,n/=2)
	if(n&1)res=res*x%mod;
	return res;
}
void init()
{
	jc[0]=Finv[0]=1;
	for(int i=1;i<=maxn;++i)
	{
	 jc[i]=jc[i-1]*i;
	 if(jc[i]>=mod)jc[i]%=mod;
    }
	Finv[maxn]=modpow(jc[maxn],mod-2,mod);
	for(int i=maxn-1;i>=1;--i)
	{
	 Finv[i]=Finv[i+1]*(i+1);
	 if(Finv[i]>=mod)Finv[i]%=mod;
    }
}
ll C(ll n,ll m)
{
	if(m<0||m>n)return 0;
	return jc[n]*Finv[n-m]%mod*Finv[m]%mod;
}
int t,n;
ll ans;
int main()
{
	init();
	scanf("%d",&t);
	while(t--)
	{
		scanf("%d",&n);
		ans=0;
		for(int k=0;k=mod)ans%=mod;
		}
		//(-1)^n 
		if(n&1)ans--;
		else ans++;
		printf("%lld\n",(ans%mod+mod)%mod);
	}
	return 0;
}