蓝桥杯 算法训练 传纸条Python实现（四维动态规划+优化）

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问题描述
　　小渊和小轩是好朋友也是同班同学，他们在一起总有谈不完的话题。一次素质拓展活动中，班上同学安排做成一个m行n列的矩阵，而小渊和小轩被安排在矩阵对角线的两端，因此，他们就无法直接交谈了。幸运的是，他们可以通过传纸条来进行交流。纸条要经由许多同学传到对方手里，小渊坐在矩阵的左上角，坐标(1,1)，小轩坐在矩阵的右下角，坐标(m,n)。从小渊传到小轩的纸条只可以向下或者向右传递，从小轩传给小渊的纸条只可以向上或者向左传递。
　　在活动进行中，小渊希望给小轩传递一张纸条，同时希望小轩给他回复。班里每个同学都可以帮他们传递，但只会帮他们一次，也就是说如果此人在小渊递给小轩纸条的时候帮忙，那么在小轩递给小渊的时候就不会再帮忙。反之亦然。
　　还有一件事情需要注意，全班每个同学愿意帮忙的好感度有高有低（注意：小渊和小轩的好心程度没有定义，输入时用0表示），可以用一个0-100的自然数来表示，数越大表示越好心。小渊和小轩希望尽可能找好心程度高的同学来帮忙传纸条，即找到来回两条传递路径，使得这两条路径上同学的好心程度只和最大。现在，请你帮助小渊和小轩找到这样的两条路径。
输入格式
　　输入第一行有2个用空格隔开的整数m和n，表示班里有m行n列（1<=m,n<=50）。
　　接下来的m行是一个m*n的矩阵，矩阵中第i行j列的整数表示坐在第i行j列的学生的好心程度。每行的n个整数之间用空格隔开。
输出格式
　　输出一行，包含一个整数，表示来回两条路上参与传递纸条的学生的好心程度之和的最大值。
样例输入
3 3
0 3 9
2 8 5
5 7 0
样例输出
34
数据规模和约定
　　30%的数据满足：1<=m,n<=10
　　100%的数据满足：1<=m,n<=50

分析：
这个思路和上一篇博客：方块取数的思路一样，只不过上一题是NxN的方块，这一题是mxn的，m和n的值可能不一样，所以注意动规数组的边界，具体思路见上一篇博客，但是，四维动态规划提交之后会超时，时间复杂度太高。

代码正确但是会运行超时，只能通过50%：

while True:
    try:
        m,n = map(int,input().split())
        s = []
        for i in range(m):
            s.append(list(map(int,input().split())))   #完成输入
        dp = [[[[0 for j in range(n+1)]for i in range(m+1)]for y in range(n+1)]for x in range(m+1)]
        for i in range(1,m+1):
            for j in range(1,n+1):
                for x in range(1,m+1):
                    for y in range(1,n+1):
                        dp[i][j][x][y] = max(dp[i - 1][j][x - 1][y], dp[i][j - 1][x - 1][y], dp[i - 1][j][x][y - 1],dp[i][j - 1][x][y - 1]) + s[i-1][j-1] + s[x-1][y-1]
                        if i == x and j == y:
                            dp[i][j][x][y] -= s[i-1][j-1]
        print(dp[m][n][m][n])
    except:
        break

我们拿一个8x6的数据来举例子，如下：
每一条线表示计算一次，我们每次把线上的数值取出来作为一个数组。其实我们想要的结果，就是从这个数组里面找出最大值和次大值（保证不重复），表示给两个人传纸条同学的好感值，然后依次累加做12次就可以了。但是这里的问题在于，我们每次怎么把线上的数字都取出来（很麻烦很麻烦，所以我放弃直接全部取出来这些数字）。

我们可以在取这些数字的时候采用三维动态规划，我们把表格中的数据替换成他们的位置参数：

表格里面的数据【ij】表示位置

我们发现，同一条线上的位置数据之和是一样的，并且这个数字和上面表的数字是一一对应的。

我们以此作为动规的大循环。
给出三维动规的通式：

dp[z][i][x] = max(dp[z-1][i - 1][x], dp[z-1][i][x-1], dp[z-1][i][x], dp[z-1][i-1][x-1]) + s[x][z-x] + s[i][z-i]

这个z就是我们大循环的步数，i和x表示两条路线，给出代码：

AC代码：

while True:
    try:
        m,n = map(int,input().split())
        s = []
        for i in range(m):
            s.append(list(map(int,input().split())))   #完成输入
        dp = [[[0 for j in range(m+1)]for i in range(m+1)]for y in range(m+n-1)]
        for z in range(1,m+n-1):          #步数
            for i in range(min(m,z+1)):
                for x in range(min(m,z+1)):
                    if i == x:
                        continue
                    elif i < m and x < m and 0 <= z-x < n and 0 <= z-i < n:       #保证取数据的时候不会越界
                        dp[z][i][x] = max(dp[z-1][i - 1][x], dp[z-1][i][x-1], dp[z-1][i][x], dp[z-1][i-1][x-1]) + s[x][z-x] + s[i][z-i]
        print(max(dp[m+n-3][m-1]))
    except:
        break

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