NOI 2015 荷马史诗 k叉哈夫曼树 优先队列

转自：http://blog.csdn.net/Quack_quack/article/details/46958413

题目大意：给出n个数字w[]，代表n个字母出现的次数，给出k。要求用k进制的数字串si替换第i个字母，且替换之后要求替换后的文章无二义性（这里的无二义性是指对于任意的 1≤i,j≤n ，i≠j,都有： si不是sj的前缀），求替换后最短的文章的长度（长度len=sigma(w[i]*strlen(si))）和这种情况下最大的si的最小值。 

数据范围 ：n<=100000，k<=9 

分析： 

题目要求的限制条件很多，既要求替换后无二义性，又要求方案的最值，还有k进制的限制= =。没学过哈夫曼树的能想到就太厉害了，学过的（NOI这个级别肯定也学过）能想起来然后套模型就有思路了。 
我很弱，因此直接套了哈夫曼树的模型。 
哈夫曼树一般是二叉树，建树的方法就是每次选择两个权值（即出现次数）最小的点，删除这2个点，加入一个权值是这两个点之和的新点进去。并且使这被删除的2个点的父亲成为那个新点。 

编码的时候左支和右支一个是1一个是0，从根节点到叶子节点经过的边的1/0序列就是叶子节点对应的编码。 

然而这个题是k叉树，方法和上面类似，然而每次选择k个权值最小的点的时候容易让最后一次合并的时候的点不足k个。假设最初有n个点，最后有1个点，每次合并删除k个点又放进1个点。那么易得：（n-1）是（k-1）的倍数。如果（n-1）%（k-1）！=0，那么就要再放入（k-1-（n-1）%（k-1））个虚拟点，并且它们的权值为0，它们也参与求最小k个点。 

然而此题还要求si的最大值最小，因此我们让点代表一个二元组（val，dep），表示这个点的权值和点在树中的深度。在求最小k个点时，把val作为第一比较条件，如果val值相等，则把dep小的放在前面，这样在每次合并的时候，深度小的点都会被优先合并，保证了根到叶子的最长链的长度尽量小。 

所以，可以得到此题的算法： 
1）处理这n个权值，加入虚拟点，这些点的val值上文已经告诉，dep值为0，ans=0； 
2）每次取出前k小的点，求它们的val之和sum，求它们的dep的最大值d，那么放入的新点应该是（sum，d+1），把它放入原来的容器里面并要求有序， 且ans+=sum（画一棵哈夫曼树，想想求文章长度的过程能这么实现的原理） ； 
3）当容器内只有一个点时，输出ans和这个点的dep值。 
这样的话正确性可以保证，但是注意容器的选择，不能直接数组模拟，会超时，可以用堆优化，我用的优先队列，和堆差不多，这样维护点的有序性变成O（log n）。求前k大的数也不用什么高级的数据结构，考虑k不大，就优先队列一个一个弹出，弹k次就可以了。 

最终时间复杂度是O（nlogn）。 

#include 
#include 
#include 
#include 
#define LL long long int
#define Max(a,b) a>b?a:b
using namespace std;

LL a ,n ,k ,cnt ,Temp ,Ans ,Maxlen ;
char b;

struct T
{
	LL Data ;
	int Len ;
	T(){}
	T(const LL _data,const int _len)
	{
		Data=_data,Len=_len;
	}
	bool operator < (const T &a) const
	{
		if(Data==a.Data)
			return a.Len Huffman;//维护最小值

inline void GET(LL &n)
{
    n = 0;
    char c;
    do c = getchar();while(!isdigit(c));
    while(isdigit(c)){n = n * 10 + c - '0'; c = getchar();}
}

int main()
{
	freopen("epic.in","r",stdin);
	freopen("epic.out","w",stdout);
	GET(n),GET(k);
	for(int i = 1;i <= n; ++i)
	{
		GET(a);
		Huffman.push(T(a,1));
	}
	cnt = n;
	if((n - 1)%(k - 1))
		cnt += k - 1 - (n - 1)%(k - 1);
	for(int i = n+1; i <= cnt; ++i)//在叶子节点添0，方便编码
		Huffman.push(T(0,1));
	while(cnt > 1)
	{
		Temp = Maxlen = 0;
		for(int i = 1; i <= k; ++i)//取k个最小的
		{
			Temp += Huffman.top().Data;
			Maxlen = Max(Maxlen,Huffman.top().Len);
			Huffman.pop();
		}
		Ans += Temp;
		Huffman.push(T(Temp,Maxlen + 1));
		cnt = cnt - k + 1;
	}
	printf("%lld\n",Ans);
	printf("%d\n",Huffman.top().Len - 1);
	return 0;
}