[网络流24题-5]魔术球问题

魔术球问题

之前听过但是忘了（雾）

重新学习了一发。整理如下。

我们需要用到一些二分图相关的前提知识。

 

最大匹配：一个图所有匹配中，所含匹配边数最多的匹配，称为这个图的最大匹配。

完美匹配：一个图中所有的点都存在于匹配集合中。所以完美匹配一定是最大匹配。

二分图一定有最大匹配而不一定存在完美匹配。

 

点覆盖：对于每条边的两个端点至少有一个在被覆盖集合中。

结论：最小点覆盖=最大匹配

 

独立集：集合内任意两个点没有边相连。

结论：最大独立集=顶点数-最小点覆盖

 

边覆盖：每个点都是集合内边的端点。

结论：最小边覆盖=顶点数-最大匹配

 

整理一下，在二分图中
1.对于不存在孤立点的图，最大匹配+最小边覆盖=顶点数；
2.最大独立集+最小顶点覆盖=顶点数；

 

以上是二分图的前提芝士qwq（怎么还没开始正题吖）

 

终于到了我们这个题我们要用到的东西啦！DAG的最小路径覆盖

路径覆盖：找若干条简单不相交路径，图上每个点都在其中至少一条路径上

我们对于每一个点拆成入点和出点，建立一个二分图。

原图中如果存在边(i,j)那么在二分图中连接(xi,yj)就可以了。

最小路径覆盖=原图点数-最大匹配（其实就是最小边覆盖啊因为是二分图qwq）

注意这个地方的顶点是原图中的顶点

 

所以对于这个题来说的话。我们可以把小球抽象成顶点，编号小的球向编号大的球连边（需要满足和是完全平方数）。一根柱子就是一条路径覆盖。n个柱子要覆盖所有的点，所以最后求得的解就是一个n条路径的覆盖。

最小路径覆盖的条数是递增的所以我们可以枚举答案（不二分的原因在于二分需要重新构图）求最小路径覆盖直到>n即可。

 

这个题要求输出路径，在增广的时候加上记录后继，然后新的柱子压到栈里最后输出就ok啦qwq

附代码。

#include
#include
#include
#include
#include
#include
#define inf 20021225
#define maxn 110000
using namespace std;

struct edge{int to,lt,f;}e[maxn];
int in[maxn],cnt=1,dis[maxn],s,t,n,m;
bool vis[maxn];
queue que;
int nxt[maxn];
void addedge(int x,int y,int f)
{
	e[++cnt].lt=in[x];e[cnt].to=y;e[cnt].f=f;in[x]=cnt;
	e[++cnt].lt=in[y];e[cnt].to=x;e[cnt].f=0;in[y]=cnt;
}
bool bfs()
{
	memset(dis,0,sizeof(dis));
	memset(vis,0,sizeof(vis));
	dis[s]=1;que.push(s);vis[s]=1;
	while(!que.empty())
	{
		int x=que.front();que.pop();
		for(int i=in[x];i;i=e[i].lt)
		{
			if(e[i].f&&!vis[e[i].to])
			{
				vis[e[i].to]=1;
				dis[e[i].to]=dis[x]+1;
				que.push(e[i].to);
			}
		}
	}
	return dis[t]!=0;
}
int dfs(int x,int cur)
{
	if(x==t)	return cur;
	int flow=0;
	for(int i=in[x];i;i=e[i].lt)
	{
		int y=e[i].to;
		if(dis[y]==dis[x]+1&&e[i].f)
		{
			int tmp=dfs(y,min(e[i].f,cur-flow));
			if(tmp>0)	nxt[x>>1]=(y>>1);
			e[i].f-=tmp;e[i^1].f+=tmp;flow+=tmp;
			if(flow==cur)	return flow;
		}
	}
	dis[x]=0;
	return flow;
}
int dinic()
{
	int w,tmp=0;
	while(bfs())
		//printf("QAQ");
		while(w=dfs(s,inf))
			tmp+=w;
	return tmp;
}
stack st;
int main()
{
	scanf("%d",&n);
	int ans=0,tmp=0;s=0;t=1;
	for(m=1;tmp<=n;m++)
	{
		addedge(s,m<<1,1);
		addedge(m<<1|1,t,1);
		for(int i=1;i