二次型

二次型及其矩阵

1. 二次型的定义：n个变量的二次多项式称为二次型，即在一个多项式中，未知数的个数为任意多个，但每一项的次数都为2的多项式。
2. 二次型的标准形的定义：只含平方项的二次型。
3. 二次型的矩阵表示法：
   其中A称为二次型的矩阵，A一定是实对称矩阵（一定能够正交相似与标准形）
4. 二次型的秩：其实就是二次型的矩阵的秩
5. 二次型的线性变换的定义：
   
6. 合同的定义：若有$n$阶可逆阵$P$使得
   $$P^{T}AP=B$$
   则称矩阵A与B合同，记做$A\simeq B$
   (i)等价、合同、相似的关系：合同一定等价、相似一定等价，但反之均不成立
   (ii)正交相似=合同
   (iii)实对称矩阵一定与某一对角阵合同，而二次型矩阵一定是实对称矩阵，所以二次型矩阵一定与某一对角阵合同
7. 定理：二次型$f=X^{T}AX$经过可逆线性变换$X=CY$后变成$f=Y^{T}BY$，则矩阵$B$=$C^{T}AC$且$r(A)=r(B)$

正交变换法

1. 作用：化二次型为标准形
2. 步骤：
   (i)写出原矩阵$A$
   (ii)求出所有特征值
   (iii)求出所有特征向量
   (iv)施密特正交化，获得所有正交单位向量
   (v)写出正交方阵$Q$，其由正交单位向量构成
   (vi)做正交变换$X=QY$或者$Y=Q^{-1}X$即可
   正交变换保持向量长度不变

配方法

1. 作用：化二次型为标准形
2. 注意点：有平方项先集中平方项（例如有$x_1^2$先集中所有含$x_1$的项），然后凑成完全平方项（例如$(x_1+x_2{)}^2$），最终构成完全平方项相加的形式；如果没有平方项需要先凑出平方项的形式（例如$x_i=y_i+y_j$，$x_j=y_i-y_j$）
3. 适用于简单的二次型

二次型的分类

1. 正定二次型：对于x取任意实数，二次型的值均大于0，则称为正定二次型，其对应矩阵称为正定矩阵，反之称为负定二次型，其矩阵称为负定矩阵。诸如此类的还有准正定二次型（大于等于零），不定二次型（大于零小于零都有可能）
2. 正定的判别法1：使用定义$f=X^{T}AT>0$
3. 正定的判别法2：使用标准形，标准形正定的充要条件是对角线上的值都要大于零
   可逆线性变换不改变二次型的正定性
   推论1：若$A$正定，则$\left|A\right|>0$
   推论2：若$A$正定，则$A$与单位阵合同
4. 正定的判别法3：使用特征值，二次型如果正定则其特征值全部大于零（特征值就是标准形对角线上的元素）
5. 正定的判别法4：使用顺序主子式
   定义：位于矩阵$A$左上角的1,2,3,…,n阶子式的行列式就叫做矩阵$A$的第i阶顺序主子式
   定理：正定的充要条件是矩阵$A$的各阶顺序主子式都大于零
   这种方法最为推荐